ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПА ПОДКОВЫ

Один из теоретических методов, который привел к созданию частных критериев хаотических колебаний, основан на поиске отображений типа подковы и гомоклинических траекторий в математических моделях динамических систем. Такая стратегия и математическая процедура, известная под названием метода Мельникова привели к критериям хаоса типа числа Рейнольдса, связывающим параметры системы. В двух случаях эти критерии были проверены с помощью численных и физических экспериментов. Действуя в духе этой книги, мы не будем выводить формулы или чрезмерно вдаваться в математическую теорию метода, а вместо этого попытаемся изложить наиболее важные идеи и отошлем тех читателей, кого заинтересуют более тонкие детали, к литературе. Метод Мельникова мы продемонстриуем на двух приложениях: на колебаниях продольно изонутой балки и вращательной динамике магнит ного дипольного двигателя.

Критерий гомоклинической траектории является математическим приемом получения прогностического соотношения между безразмерными группами переменных физической системы. Он дает необходимое, но недостаточное условие возникновения хаоса. Критерий гомоклинической траектории может также порождать необходимое и достаточное условие предсказуемости поведения динамической системы (см. разд. 6.5 — «Фрактальные границы области притяжения»). Если отбросить его сложную, несколько таинственную математическую инфраструктуру, то по существу речь идет о методе, позволяющем определить, обладает ли модель в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных свойствами отображения типа подковы или преобразования пекаря.

В случае отображения типа подковы (см. также гл. 1) основное внимание сосредоточивается на множестве начальных условий для траекторий, заполняющем некоторый шар в фазовом пространстве. Если система ведет себя как отображение типа подковы, то этот начальный объем в фазовом пространстве под действием динамики системы принимает новую форму: первоначальный шар вытягивается и складывается (рис. 5.13). После многих итераций эти складывания и растяжения порождают фракталоподобную структуру, и точная информация о начальных условиях траектории утрачивается. Для установления соответствия между начальным и последующим состояниями системы требуется все большая точность. При конечной точности постановки задачи (в большинстве случаев речь идет о численных или лабораторных экспериментах) предсказание становится невозможным.

Рис. 5.13. Эволюция сферы начальных условий во времени.

Один из путей к пониманию критерия гомоклинической траектории (см. блок-схему на рис. 3.14) состоит в том, чтобы попытаться ответить на следующие вопросы:

1. Что такое гомоклинические орбиты?

2. Как возникают гомоклинические орбиты в математических моделях физических систем?

3. Как они связаны с отображениями типа подковы?

4. Наконец, как метод Мельникова приводит к критерию возникновения хаоса?

Гомоклинические траектории. Подробное обсуждение гомоклинических траекторий можно найти в книгах Лихтенберга и Либермана [110] и Гукенхеймера и Холмса [37]. Мы уже знаем, что, хотя решения многих динамических задач представимы в виде непрерывной кривой в фазовом пространстве (с координатами ) или в пространстве решений (с координатами ), загадки нелинейной динамики и хаоса часто удается разгадать, глядя на дискретную численную выборку из движения, известную под названием сечения Пуанкаре. Мы видели также, что в сечении Пуанкаре точки, хотя в действительности они образают последовательность точек в -мерном пространстве, могут располагаться вдоль некоторых непрерывных кривых. Эти кривые называются многообразиями. Говоря далее о гомоклинических траекториях, мы имеем в виду последовательность точек. Эта последовательность называется траекторией. Например, если речь идет о периодической траектории с периодом 3, то последовательность точек поочередно посещает три состояния на фазовой плоскости (рис. 5.15, а). С другой стороны, квазипериодическая траектория соответствует последовательности точек, перемещающихся по некоторой замкнутой кривой (рис. 5.15, б). Квазипериодические колебания часто встречаются среди движений двух связанных осцилляторов с двумя несоизмеримыми частотами.

Рис. 5.14. Блок-схема, показывающая взаимосвязь между гомоклиническими орбитами, отображениями типа подковы и хаосом в физических системах.

Рис. 5.15. а — Периодическая траектория в сечении Пуанкаре; б — квазипериодическая траектория; в — гомоклиническая траектория.

В динамике отображений встречаются особые точки, при прохождении через которые траектории по одним направлениям движутся от них, а по другим направлениям — к ним. Примером может служить седло. У этой особой точки существуют две кривые — многообразия, вдоль которых траектории приближаются к ней, и две кривые — многообразия, вдоль которых последовательность точек Пуанкаре удаляется от седла, как показано на рис. 5.15. Такая точка напоминает особую точку типа «седло» нелинейных дифференциальных уравнений.

Что такое гомоклиническая траектория, мы продемонстрируем на динамике маятника, колеблющегося с затуханием под действием вынуждающей силы. Прежде всего напомним, что для маятника, колеблющегося с затуханием в отсутствие вынуждающей силы неустойчивые многообразия седловой точки закручиваются вокруг особой точки на фазовой плоскости (0, в) наподобие вихря, как показано на рис. 5.16.

Рис. 5.16. Устойчивое и неустойчивое многообразия для движения маятника с затуханием в отсутствие вынуждающей сипы.

Хотя это не очевидно, отображение Пуанкаре, сихнронизованное с частотой вынуждающей силы, также имеет седловую особую точку в окрестности ( — нечетное число), как показано на рис. 5.17 для случая маятника, колеблющегося под действием вынуждающей силы. При достаточно малой амплитуде вынуждающей силы устойчивое и неустойчивое многообразия седла не касаются друг друга.

Рис. 5.17. Общий вид устойчивого (W и неустойчивого ) многообразий отображения Пуанкаре для маятника с затуханием под действием вынуждающей силы, гармонически зависящей от времени.

Но при возрастании вынуждающей силы эти два многообразия пересекаются. Можно показать, что если они пересекаются хотя бы один раз, то они пересекутся бесконечно много раз. Точки пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий называются гомоклиническими точками. Точка Пуанкаре вблизи одной из этих точек отображается на окрестности всех остальных точек пересечения. Совокупность таких точек Пуанкаре называется гомоклинической траекторией (рис. 5.15, в). Почему гомоклинические траектории столь важны для хаоса?

Пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий при отображении Пуанкаре порождает в окрестности каждой гомоклинической точки отображение типа подковы. Как было показано в гл. 1, отображения типа подковы приводят к непредсказуемости, а непредсказуемость или чувствительная зависимость от начальных условий — отличительный признак хаоса.

Почему гомоклинические траектории порождают отображения типа подковы, станет ясно, если мы вспомним, что в случае диссипативной системы площади отображаются в меньшие площади. Но вблизи неустойчивого многообразия площади растягиваются. Так как общая площадь должна убывать, площадь должна сжиматься быстрее, чем она растягивается. В результате площадь вблизи гомоклинических точек складывается, как показано на рис. 5.18.

Рис. 5.18. Развитие во времени отображения типа подковы для точек в окрестности гомоклинической траектории.

Динамическую систему можно рассматривать как преобразование фазового пространства, т. е. объем точек, представляющих различные возможные начальные условия, преобразуется со временем в какой-то деформированный объем. Регулярный поток в фазовом пространстве возникает, когда трансформированный объем имеет достаточно гладкие очертания. Хаотический поток возникает, когда первоначальный объем растягивается, сжимается и складывается, как при преобразовании пекаря или отображении типа подковы.

Метод Мельникова. Функция Мельникова используется как мера расстояния между неустойчивым и устойчивым многообразиями, когда это расстояние мало (математически строгое изложение метода Мельникова см. в книге Гукенхеймера и Холмса [57]). Этот метод был применен к задачам, в которых диссипация мала и уравнения для многообразий в задачах с нулевой диссипацией известны. Например, предположим, что мы рассматриваем вынужденное движение нелинейного осциллятора, где — сопряженные переменные (обобщенная координата и обобщенный импульс). Будем считать, что затухание и вынуждающая сила малы, и запишем уравнения движения в виде

где — малый параметр, — гамильтониан для задач без затухания и отсутствие вынуждающей силы . Кроме того, мы предполагаем, что вектор-функция периодическая, т. е.

(5.3.19)

и что движение происходит в трехмерном фазовом пространстве где — фаза периодической вынуждающей силы и берется по модулю периода Т.

Во многих нелинейных задачах седповая особая точка существует при невозмущенном гамильтониане [при в уравнениях (5.3.18)]. К числу таких задач относится, например, задача о колебаниях частицы в потенциале с двумя ямами [уравнение Дуффинга (5.2.2)]. При можно провести сечение Пуанкаре трехмерного тороидального потока, синхронизованное с фазой Показано (см. книгу Гукенхеймера и Холмса [57]), что в таком сечении Пуанкаре также существует седло с устойчивым и неустойчивым многообразиями (рис. 5.19).

Рис. 5.19. Седло в сечении Пуанкаре и связанные с ним устойчивое и неустойчивое многообразие до формирования гомоклинической траектории.

Функция Мельникова задает меру отклонения от как функцию от фазы отображения Пуанкаре. Эта функция определяет интегралом

(5.3.20)

где — решения, соответствующие невозмушенной гомоклинической траектории, начинающейся в седловой точке гамильтоновых уравнений. Переменная есть мера расстояния, измеряемого вдоль первоначальной невозмущенной гомоклинической траектории на фазовой плоскости. Рассмотрим, два примера.

Магнитный маятник. Удобной экспериментальной моделью маятника может служить вращательная динамика магнитного диполя в скрещенных магнитных полях — стационарном и периодическом, как на рис. 3.18 (см. также работу Муна и др. [146]).

Уравнение движения при надлежащей нормировке имеет вид

(5.3.21)

Член порожден стационарным магнитным полем, а член с — периодическим полем. Уравнение (5.3.21) учитывает также линейное затухание и постоянный крутящий момент Следуя предположениям теории, мы полагаем где а величины порядка 1.

Гамильтониан для задачи без затухания и в отсутствие вынуждающей силы имеет вид

где . На гомоклинической траектории, выходящей из седла энергия Н постоянна . Невозмущенная гомоклиническая траектория определяется выражениями

В возмущенных гамильтоновых уравнениях Необходимое интегрирование может быть проведено точно с помощью контурного интеграла (см., например, [57], где рассмотрен аналогичный случай). Интегрируя, получаем

(5.3.23)

Два возмущенных многообразия имеют простое касание, когда имеет простой нуль, или когда

где множители опущены. При критическое значение вынуждающего крутящего момента определяется выражением

График этой функции представлен на рис. 5.6 вместе с результатами физических и численных экспериментов. Критерий (5.3.25) дает очень точную нижнюю границу областей хаоса на плоскости амплитуда—частота вынуждающей силы.

Движение частицы в потенциале с двумя ямами. Задача о вынужденном движении частицы в потенциале с двумя ямами находит многочисленные приложения, такие как, например, поведение продольно изогнутой упругой балки после выпучивания [141] или некоторые задачи динамики плазмы [122]. Затухающие колебания под действием периодической вынуждающей силы можно описать с помощью уравнения типа Дуффинга

(5.3.26)

Гамильтониан для невозмущенной задачи записывается в этом случае следующим образом:

При Н = 0 две гомоклинические траектории начинаются и оканчиваются в седле, расположенном в начале координат. Переменные принимают значения, соответствующие кривой в правой полуплоскости, задаваемой уравнениями

В этой задаче , где , как в предыдущем примере. Функция Мельникова (5.3.20) принимает поэтому следующий вид:

она может быть точно проинтегрирована методом контурных интегралов. Такое решение было первоначально найдено Холмсом , но в его работу вкралась ошибка. Правильный анализ провели Гукенхеймер и Холмс [57] и получили следующий результат:

(5.3.27)

Для того чтобы выражение (5.3.27) имело простой нуль, должно выполняться неравенство

Эта нижняя граница хаотической области в пространстве , была проведена экспериментально Муном [136] (см. также рис. 5.2 и 5.3).