ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ В ЖИДКОСТИ

По-видимому, самой знаменитой сейчас моделью является система Лоренца, которая возникла в результате попытки моделирования динамики атмосферы. Представим себе слой жидкости, находящийся под действием силы тяготения, который подогревается снизу, так что поперек слоя поддерживается разность температур (рис. 3.1). Когда эта разность становится достаточно большой, возникают циркуляционные, подобные вихрям, движения жидкости, в которых теплый воздух (жидкость) поднимается, а холодный — опускается. Верхушки параллельных рядов конвективных валов можно иногда увидеть, пролетая над слоем облаков. Двумерное конвективное течение можно описать с помощью классического уравнения Навье—Стокса (1.1.3). Это уравнение раскладывается по фурье-гармоникам вдоль двух пространственных направлений, а на поверхности и на дне слоя жидкости задаются граничные условия. При малых разностях температур АГ жидкость неподвижна, но при некотором критическом значении ДГ возникает конвективное, т.е. циркуляционное течение. Это движение называют конвекцией Рэлея — Бенара.

Рис. 3.1. а — Схематическое изображение конвективных валов в подогреваемой снизу жидкости; б — три неустойчивые сингулярные точки в фазовом пространстве уравнений Лоренца (3.2.3).

Лоренц [115) изучал разложения Фурье, в которых оставлено всего три гармоники. Несколько раньше Зальцман [167] использовал ряды с пятью гармониками. При принятых упрощениях скорость жидкости следующим образом выражается через функцию тока :

В модели Лоренца безразмерные функции тока и возмущенная температура записываются в виде (см. вывод в [110], с. 443—446)

(3.2.1)

где толщина слоя жидкости принята равной единице. В результате получаются следующие уравнения для :

(3.2.3)

Параметр а — безразмерное отношение коэффициентов вязкости и теплопроводности (число Прандтля), — безразмерный градиент температуры (связанный с числом Рэлея), а — геометрический множитель, причем о

При наборе параметров (использованном Лоренцем) имеются три точки равновесия, и все они неустойчивы (рис. 3.1, б). В начале координат расположена седловая точка, а две другие — неустойчивые фокусы, т.е. спиральные точки равновесия (см. рис. 1.24). Тем не менее можно показать, что движение глобально ограничено. Поэтому траекториям не остается ничего другого, кроме как оставаться внутри эллипсоидальной области в фазовом пространстве. Пример таких блуждающих траекторий, полученный при численных расчетах, показан на рис. 1.25.