НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

Цепи с периодическим возбуждением: хаос в цепи с диодом. Идеальный диод — это элемент цепи, который либо проводит ток, либо нет. Такое поведение с резким отключением представляет собой сильную нелинейность. Ряд экспериментов по хаотическим колебаниям был проведен с помощью конкретного диодного элемента, называемого варикапным диодом [113, 162, 189]; использованные электрические цепи подобны показанной на рис. 3.31. Сообщалось как об удвоениях периода, так и о хаотическом поведении такой системы. Возможность удвоений периода указывает, что явление математически описывается одномерным отображением, которое связывает абсолютные значения максимального тока в цепи во время циклов:

(3.3.9)

Один из интересных вопросов, связанных с этой системой, — это физическая природа нелинейности. В первой работе [113] предлагалось моделировать диод сильно нелинейной емкостью, что дает

(3.3.10)

где Однако позже была предложена совершенно другая модель [162], в которой рассматриваемая цепь эквивалентна одной из двух линейных цепей, показанных на рис. 3.31, б, в.

Рис. 3.31, а — Схема цепи с варикапным диодом; б — вид элемента цепи в фазе проводимости диода; в — вид элемента цепи, когда диод заперт [162] (The American Physical Society, © 1982).

Каждый цикл состоит из проводящей и непроводящей стадий. Нелинейность возникает из-за условий перехода от проводящей цепи с напряжением смещения к непроводящей с постоянной емкостью. Момент перехода зависит от максимального тока . В этой модели на каждой стадии известны точные решения дифференциальных уравнений, описывающих цепь; неизвестные постоянные определяются из условий непрерывности тока и напряжения в момент смены стадий. Этот метод использован в работе [162] для численного расчета функции, определяющей отображение и показанной на рис. 3.32. Дальнейшие эксперименты показали, что эта модель лучше описывает физику протекающих процессов, чем модель с нелинейной емкостью.

Эта ситуация служит примером известной проблемы в нелинейной динамике. Стремление немедленно объяснить хаотичность динамики нелинейной системы вызывает соблазн построить математическую модель, которая повторяет классические парадигмы хаоса в гораздо большей степени, чем сама физика системы. Это было простительно во время первых открытий и исследований. Но со взрослением нелинейной динамики следует больше внимание обращать на математические и физические основы изучаемых явлений Новые объяснения хаотических явлений могут быть приняты только в том случае, если они проясняют связь физических законов (например, законов Ньютона и уравнений Максвелла) и математических моделей.

Рис. 3.32. Сравнение рассчитанного (в) и полученного в эксперименте (б) одномерных отображений для цепи с варикапным диодом, показанной на рис. 3.31 (162) (The American Physical Society, © 1982).

Итак, мы обсудили нелинейную цепь с варикапным диодом и несколько экспериментальных работ, в которых сообщалось о хаосе в этой цепи. Теперь мы расскажем еще об одном эксперименте [19] с последовательно включенными диодом, индуктивностью и сопротивлением, которые находятся под действием сунусоидально до напряжения. Соответствующая математическая модель имеет

(3.3.11)

где свойства нелинейного диода уже обсуждались выше. Авторы этого эксперимента изучили плоскость параметров и выделили области субгармонического и хаотического отклика. Эти результаты показаны на рис. 3.33. На рис. 3.33, а частота возбуждения меняется в диапазоне . Как видно из этих данных, можно подобрать такую траекторию в пространстве параметров, вдоль которой реализуется переход к хаосу через удвоения периода. Но можно выбрать и другие траектории, вдоль которых, очевидно, не происходят удвоения периода. На рис. 3.33, а также видны острова хаотичности; после увеличения, показанного на рис. 3.33, б, внутри них обнаруживаются более мелкие такие же острова. Этот пример показывает, что, когда модель описывается тремя дифференциальными уравнениями (3.3.11), отображение Пуанкаре, которое характеризует динамику системы, является двумерным и в такой системе не обязательно проявляются удвоения периода, характерные для одномерных отображений.

Однако при определенных законах вариации параметров двумерное отображение может вести себя как одномерное и соответственно система, скорее всего, будет описываться одномерным необратимым отображением. Для экспериментатора из этого вытекает следующая мораль: если физическая задача существенно характеризуется более чем одной безразмерной комбинацией параметров, то следует исследовать соответствующее пространство параметров, чтобы выявить весь диапазон возможных нелинейных динамических режимов.

Нелинейная индуктивность. Брайант и Джеффрис [18] исследовали цепь с отрицательным сопротивлением и нелинейной индуктивностью с гистерезисом, возбуждаемую синусоидальным сигналом. В этой работе исследовались соединенные параллельно четыре элемента — источник напряжения, отрицательное сопротивление, конденсатор и катушка, намотанная на тороидальный магнитный сердечник. Характерные значения параметров таковы: С = 7,5 мкФ, R = -500 Ом, а частота возбуждающего сигнала — 200 Гц и выше.

Рис. 3.33. а — Области субгармонических и хаотических колебаний в цепи с последовательно соединенными индуктивностью, сопротивлением и диодом, показанные на плоскости напряжение — частота возбуждающего сигнала; б — увеличенная часть рисунка «о» [19] (Elsevier Science Publishers, © 1984).

Отрицательное сопротивление создавалось операционным усилителем. Если N — число витков в индуктивности, А — эффективная площадь сечения сердечника, — длина магнитного пути, то плотность магнитного потока В в сердечнике описывается уравнением

(3.3.12)

где Н(В) — нелинейное соотношение магнитного поля и магнитной индукции в материале сердечника.

Рис. 3.34. Цепь с туннельным диодом, в которой возможны автономные хаотические колебания [44] (Plenum Publishing Corp., © 1980).

В описываемом эксперименте было N = 100 витков, .

В такой цепи наблюдаются квазипериодические колебания, блокировки фазы движений, удвоение периода и хаотические колебания.

Автономные нелинейные цепи. Автономные хаотические колебания обнаружены в цепи с туннельным диодом, показанной на рис. 3.34, а [44].

Нелинейными элементами этой цепи являются два туннельных диода. Вольт-амперная характеристика, показанная на рис. 3.34, б, явно нелинейна, и при циклических изменениях тока ID возникает петля гистерезиса. Авторы этой работы с помощью возвратных отображений построили отображения Пуанкаре на псевдофазовой плоскости. Другими словами, они составили выборку измерений тока

(3.3.13)

где целое, и построили зависимость отдгп Выборка производилась в те моменты времени, когда напряжение проходило, убывая, значение 0,42 В. Кроме того были построены спектры Фурье и вычислены показатели Ляпунова, характеризующие скорость разбегания близких траекторий.

Как мы уже упоминали в разделе, посвященном математическим моделям, Уэда [197] исследовал хаос в цепи с отрицательным сопротивлением. Отрицательные сопротивления создаются в эксперименте новым методом с использованием операционных усилителей. Эксперименты Мацумото и др. [128, 129] и Брайанта и Джеффриса [17,18] также являются примерами исследований хаотических колебаний в нелинейных цепях, использующих эту методику.

Рис. 3.35. Цепь с трилинейным активным элементом, в которой возможны автономные хаотические колебания [129] (Institute of Electrical and Electronic Engineers, 1985).

Цепь, исследованная Мацумото и др., показана на рис. 3.35, Она состоит трех связанных петель с нелинейным сопротивлением. Эта цепь автономна, т.е. в ней нет источников стороннего напряжения. Поэтому в этой системе колебания возможны только в случае, если нелинейное сопротивление отрицательно в некотором диапазоне напряжений. В модели Мацумото и др. используется трилинейная вольт-амперная характеристика, показанная на рис. 3.35, б, которая описывается выражением

(3.3.14)

Уравнения, моделирующие эту цепь, получаются с помощью суммирования токов в узлах А и В на рис. 3.35, а и напряжений в левой петле:

(3.3.15)

где — напряжения на конденсаторах и — ток в индукционной катушке. Трилинейное сопротивление (3.3.14) получено с помощью операционного усилителя на диодах (детали см. в гл. 4). При малых напряжениях нелинейное сопротивление отрицательно, положение равновесия неустойчиво и возбуждаются колебания.

Рис. 3.36. Хаотическая траектория цепи с трилинейным сопротивлением (см. рис. 1.35). полученная численным моделированием. Этот аттрактор, возникающий в цепи, которая показана на рис. 3.35, называется двойным свитком [129] (Institute of Electrical and Electronic Engineers, © 1985).

Хаотические колебания были обнаружены при следующих значениях параметров: в согласованной системе единиц. Хаотическая эволюция системы иллюстрируется рис. 3.36, который аналогичен картине аттрактора Лоренца (см. рис. 1.25).