4.4. ИЗМЕРЕНИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Мы отмечали в гл. 2, что хаотические динамические процессы легче всего распознать и изучить, наблюдая за ними в фазовом пространстве. В динамике частиц это пространство, координатами которого являются положение и скорость для каждой независимой степени свободы. В задачах с внешним возбуждением еще одним измерением фазового пространства становится время.

Так, при периодическом возбуждении осциллятора с двумя степенями свободы, обобщенные координаты которого фазовое пространство представляет собой набор переменных , где — частота возбуждения.

Если проводятся измерения только перемещения , возникает необходимость в дифференцирующем устройстве. Если измеряется скорость, то фазовое пространство строится как совокупность , требующая использования интегрирующего устройства Уже отмечалось, что при изготовлении интегратора или дифференцирующей цепи следует позаботиться, чтобы в рассматриваемом диапазоне частот не искажались ни фаза, ни амплитуда.

В задачах с электронными или электрическими цепями переменными, описывающими состояние, могут быть ток и напряжение. В задачах о конвекции жидкости существенными переменными являются температура и скорость.

ИЗМЕРЕНИЯ В ПСЕВДОФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Во многих экспериментах удается измерить только одну переменную — моменты времени измерений (не следует путать их с итерациями отображения Пуанкаре Когда приращение времени постоянно, т.е. и т.д., по строения в псевдофазовом пространстве можно провести, пользуясь значениями и измерениями в прошедший (или последующий) момент времени:

Можно показать, что если траектория замкнута в фазовом пространстве переменных , то она будет замкнутой и в переменных (при цифровой регистрации переменных следует соединять последовательно получаемые точки), как показано на рис. 4.4. Аналогично и траектории, хаотические в пространстве , сохраняют это свойство в переменных . Построения в псевдофазовом пространстве можно провести либо после эксперимента, используя компьютер, либо в ходе эксперимента, используя цепь опроса и задержки.

Одна из сложностей возникает при построении сечения Пуанкаре в псевдофазовом пространстве. Если, например, в системе присутствует естественный масштаб времени, как при вынужденном периодическом движении с частотой то интервал времени между измерениями обычно выбирается намного меньшим периода возбуждения, т.е.

Рис. 4.4. Периодическая траектория динамической системы третьего порядка, изображенная в псевдофазовом пространстве.

Если не является целой долей Т, то отображения Пуанкаре могут потерять часть своей тонкой фрактальной структуры.