ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ

При математическом исследовании динамических систем отображением называют временную выборку данных для которой вводят обозначение

В простом детерминированном отображении величину можно найти по значению . Это часто записывают в виде

В такой записи можно узнать разностное уравнение. Понятие отображения обобщается и на большее число переменных. Так, может быть вектором с М компонентами; , и тогда уравнение (2.2) будет системой из М уравнений.

Предположим, например, что мы анализируем движение частицы, отображенное на фазовой плоскости Мы уже знаем, что если движение хаотично, то траектория стремится заполнить некоторую область фазового пространства. Если, однако, вместо того, чтобы непрерывно следить за движением, мы будем фиксировать динамические характеристики только в отдельные моменты, то движение будет представлено последовательностью точек фазовой плоскости (рис. 2.8). Если , то эта последовательность точек фазового пространства представляет собой двумерное отображение

Если моменты выборки подчиняются определенному правилу, обсуждаемому ниже, это отображение называется отображением Пуанкаре.

Отображение Пуанкаре для систем с вынужденными колебаниями. Когда присутствует вынуждающее движение с периодом Т, для получения отображения Пуанкаре естественно выделить выборку с . Это позволяет отличить периодические движения от непериодических.

Рис. 2.8. Схематическая иллюстрация временной эволюции точек Пуанкаре из выборки цифровых измерений.

Рис. 2.9. а — Отображение Пуанкаре на фазовой плоскости, соответствующее субгармоническому движению с периодом 3 продольно изогнутого стержня, возбуждаемого периодическим сигналом; б — хаотическое движение вблизи третьей субгармоники.

Например, если выборку гармонического движения, показанного на рис. 2.4, а, синхронизировать с его периодом, то «отображение» будет представлено двумя точками на фазовой плоскости. Если же, однако, отклик содержал бы субгармонику с периодом 3, то отображение Пуанкаре состояло бы из трех точек, показанных на рис. 2.9, а. (Пользуясь жаргоном математической теории динамики, говорят, что отображение (2.3) с функциями f и g имеет три точки покоя.)

Еще одно нехаотическое отображение Пуанкаре показано на рис. 2.10, где движение представляет собой колебания на двух несоизмеримых частотах:

где — иррациональное число. Если делать выборку с периодом, соответствующим одной из частот, то траектория станет непрерывной замкнутой фигурой или орбитой на фазовой плоскости. Такое движение иногда называют почти периодическим, или квазипериодическим, или «движением на торе»; оно не хаотично.

И наконец, если отображение Пуанкаре не состоит ни из конечного множества точек (см. рис. 2.9, а), ни из замкнутой орбиты (см. рис. 2.10), то соответствующее движение может быть хаотичным (рис. 2.11). На этом этапе следует провести грань между системами с затуханием и без него. В системах без затухания или со слабым затуханием отображения Пуанкаре хаотических движений часто имеют вид неупорядоченного скопления точек на фазовой плоскости (рис. 2.11, а).

Рис. 2.10. Отображение Пуанкаре на фазовой плоскости, соответствующее кваэипериодическому движению возбуждаемого периодическим сигналом стержня с двумя степенями свободы, который колеблется в паре потенциальных ям, создаваемых магнитными силамн.

Рис. 2.11. а — Отображение Пуанкаре для хаотического движения продольно изогнутого стержня при слабом затухании; б, в — отображения Пуанкаре для хаотического движения продольно изогнутого стержня при более сильном затухании обнаруживают фрактальную структуру странного аттрактора [136] (The American Society of Mechanical Engineers, © 1980).

Такие движения иногда называют стохастическими (см., например, [110]). В системах с затуханием отображения Пуанкаре иногда представляют собой бесконечные строго упорядоченные множества точек, концентрирующихся на подобии параллельных линий, как это показано на рис. 2.11, б, в. При численном моделировании можно увеличить часть отображения Пуанкаре (рис. 2.12) и обнаружить более тонкую структуру. Если такая структура множества точек сохраняется после нескольких увеличений, то говорят, что движение ведет себя как странный аттрактор. Множества с подобным вложением одной структуры в другую часто называют канторовскими множествами (см. гл. 6).

Появление в отображении Пуанкаре, отображающем временную эволюцию колебаний, структур, которые подобны канторовскому множеству, является сильным индикатором хаотических движений.

Рис. 2.12. Отображение Пуанкаре для хаотических колебаний возбуждаемого нелинейного осциллятора, сохраняющее автомодельную структуру все меньших и меньших масштабов.

Классы структур, встречающиеся в отображениях Пуанкаре, перечислены в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Классификация отображений Пуанкаре

Рис. 2.13. Примеры самовозбуждаюшихся колебаний: а — течение жидкости над упругой пластиной; б — течение газа над поверхностью жидкости.

Отображения Пуанкаре для автономных систем. Стационарные колебания могут возбуждаться без периодических или случайных воздействий также и в том случае, если движение порождается динамической неустойчивостью, как, например, индуцированные ветровым потоком колебания упругой структуры (рис. 2.13) или создаваемое градиентом температуры конвективное движение жидкости или газа (например, конвекция Бенара — см. рис. 1.23). В электрических системах или системах управления с обратной связью самовозбуждающиеся колебания могут возникать благодаря элементам с отрицательным сопротивлением или отрицательной обратной связи. Тогда возникает вопрос о том, в какие моменты времени следует проводить измерения, чтобы получить отображение Пуанкаре. Обсуждение этого вопроса мы проведем на несколько более абстрактном языке.

Рассмотрим хаотическую систему нижайшего порядка, описываемую тремя дифференциальными уравнениями первого порядка (например, уравнения Лоренца из гл. 1). В случае электромеханической системы переменные х(t), могут иметь смысл смещения, скорости и управляющей силы, если это система управления с обратной связью. Движение можно представить в виде траектории в трехмерном фазовом пространстве (рис. 2.14). Отображение Пуанкаре можно определить, построив в этом пространстве двумерную ориентированную поверхность и следя за точками в которых траектория проходит сквозь эту поверхность. Выберем, например, плоскость с нормальным вектором

Рис. 2.14. Схематическое изображение траекторий системы уравнений третьего порядка и типичная плоскость Пуанкаре.

Как частный случай можно выбрать плоскость х = 0. Тогда отображение Пуанкаре состоит из тех точек плоскости, через которые траектория проходит в одном и том же направлении, т. е. если — единичный вектор, касательный к траектории, то скалярное произведение всегда должно иметь один и тот же знак.

Определение отображения Пуанкаре распространяется и на случай, когда на систему действует периодическая внешняя сила. В качестве примера рассмотрим вынужденные нелинейные колебания, описываемые уравнениями движения:

Эту систему можно привести к автономному виду, вводя определение

что

Теперь можно естественным образом выбрать те моменты выборки, при которых z = 0. У этой системы фазовое пространство имеет цилиндрическую форму с ограниченными значениями z: . Построение отображения Пуанкаре показано на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Схематическое изображение странного аттрактора для вынужденных колебаний нелинейного осциллятора — «произведение» плоскости Пуанкаре и фазы возбуждающего сигнала.

Сведение динамических моделей к одномерным отображениям. В гл. 1 мы убедились, что простые одномерные отображения или разностные уравнения вида могут содержать бифуркации удвоения периода и хаос, если функция имеет хотя бы один максимум (или минимум), как показано на рис. 1.19. Явления удвоения периода наблюдались во многих разнообразных сложных физических системах (жидкостях, лазерах, электронных -переходах); и часто динамика этих систем хорошо описывается одномерными отображениями. Такая возможность особенно характерна для систем с существенным затуханием. Чтобы проверить эту возможность, следует сделать выборку какой-либо динамической переменной с помощью сечения Пуанкаре, обсуждавшегося выше, скажем Затем можно построить зависимость каждого от последующего значения . Чтобы можно было объявить систему хаотической, необходимо выполнение двух критериев. Во-первых, точки на графике с отложенными по осям величинами должны группироваться, создавая некую функциональную зависимость; во-вторых, эта функция должна быть немонотонной, т. е. иметь максимум или минимум. Если эти требования выполнены, то следует подобрать полиномиальную аппроксимацию полученных точек и использовать найденное отображение для дальнейших численных экспериментов или анализа, подобного анализу квадратичного отображения (гл. 1 и 5).

Примерами использования этой методики являются исследование протекающего крана [171] и эксперимент с варикапным диодом в электрической цепи [162] (см. также обсуждение этих задач в гл. 3). В гл. 4 мы продол жим обсуждение этой методики.