ПОСТРОЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ АТТРАКТОРОВ

В ряде экспериментальных и численных примеров притягивающее множество имеет вид набора слоев в некотором трехмерном фазовом пространстве, как изображено на рис. 4.17. (Одним из таких примеров являются уравнения Лоренца )

Рис. 4.17. Построение одномерного возвратного отображения в трехмерном фазовом пространстве.

Часто это означает, что отображение Пуанкаре, получаемое путем регистрации последовательности точек, в которых траектория проходит сквозь некоторую плоскость поперек аттрактора, будет иметь вид набора точек, располагающихся вдоль некоторой линии. Поэтому если удастся параметризовать эти лежащие на линии точки с помощью некоторой переменной то, возможно, окажется, что существует функция, которая связывает

Эту функцию (называемую возвратным отображением) можно найти без труда, откладывая в зависимости Пример такого построения можно найти в опытах Шоу [171] с протекающим краном (см. рис. 3.39) или в опытах с нелинейной цепью, показанной на рис. 3.32 (см. также [175]). Существование такой функции указывает, что такие математические свойства одномерных отображений, как удвоение периода и автомодельность Фейгенбаума, иногда могут использоваться для объяснения, предсказания и постановки экспериментальных наблюдений более сложных физических систем.

В некоторых случаях график функции , когда она существует, оказывается самопересекающейся или довольно запутанной линией. Это может указывать на то, что функцию этого отображения можно упростить, описывая динамику в объемлющем пространстве большего числа измерений с использованием трех последовательных измерений на сечении Пуанкаре,

Трехмерную структуру искомого соотношения иногда можно выявить, изменяя угол проекции трехмерной кривой на плоскость экрана компьютера. Может оказаться подходящим частный случай двумерного отображения вида

или

Такое отображение подобно отображению Энона (1.3.8). Этот метод успешно использовался при изучении цепей с -переходом [202] и цепи с варикапным диодом, сопротивлением и индуктивностью, возбуждаемой синусоидальным сигналом [16].