ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ

В механике геометрические нелинейности связаны с системами, в которых напряжешь и деформации связаны линейным соотношением, но геометрия которых меняется в зависимости от деформации.

Рис. 4.2. Примеры механических систем с геометрическими нелинейностями.

Один из примеров показан на рис. 4.2, где ограничение на смешение свободного конца консольной балки зависит от ее прогиба.

Другой классический пример — контакт двух гладких упругих тел (называемый контактом Герца). Для искривленных поверхностей сила зависит от смещения по нелинейному степенному закону

где — относительное сближение двух тел.

Еще один классический пример геометрической нелинейности — упругие тела, изображенные на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Примеры геометрических нелинейностей в упругих структурах.

В этом случае вещество линейно-упруго, но сильные деформации приводят к нелинейным соотношениям между силой и смещением или моментом и углом

где М — изгибающий момент, к — кривизна нейтральной оси стержня, а и — его поперечное смещение. Этот пример интересен для изучения хаотических колебаний потому, что такие упругие структуры могут иметь несколько положений равновесия (см. гл. 2). Цилиндрические и сферические оболочки также обнаруживают геометрические упругие нелинейности (см., например, [34]).