ЗАДАЧИ С СОУДАРЕНИЯМИ

Задачи с соударениями приводят непосредственно к разностным уравнениям или отображениям, которые при определенном выборе параметров часто обнаруживают хаотические колебания. Классическое отображение такого типа описывает движение частицы между Двумя стенками. Если одна из стенок неподвижна, а другая колеблется (рис. 3.3, о), то задача называется моделью Ферми ускорения космических лучей и описывает поведение заряженных частиц в Движущихся магнитных полях. Эта модель очень подробно обсуждается Лихтенбергом и Либерманом [110] в их доступно написанной монографии о стохастическом движении. Исследовано несколько систем разностных уравнений, описывающих эту модель. Одна из таких систем, в которой колеблющаяся стенка передает импульс, не меняя положение частицы, имеет вид

Рис. 3.3. а — Модель динамики частицы, отскакивающей от периодически колеблющейся стенки; б — отображение Пуанкаре; как функция для задачи с соударениями, показанной на рис. 3.3, а и описываемой уравнениями (3.2.8).

где — скорость после соударения, — момент соударения, — импульс на единицу массы, который может передать стенка, а — расстояние между стенками.

Численные исследования этой и аналогичных задач обнаруживают существование решений стохастического типа, в которых тысячи итераций отображения (3.2.8) заполняют области фазового про странства как показано на рис. 3.3, б. В некоторых случаях траектории не попадают в определенные «острова» на плоскости Внутри этих островов находятся регулярные орбиты. Подобные системы часто можно анализировать с помощью классической динамики Гамильтона. Они типичны для хаоса в задачах со слабой диссипацией или вовсе без диссипации. Если диссипация умеренна или сильна, то хаотическое отображение Пуанкаре концентрируется в структуру с фрактальными свойствами, подобную показанной на рис. 2.11, б, в. Но в задачах со слабой диссипацией отображение Пуанкаре заполняет обширные области фазового пространства, не обнаруживая фрактальной структуры.

Модель ускорения Ферми аналогична модели одного из механи ческих устройств с зазором, показанного на рис. 3.4. Некоторая масса свободно скользит с трением вдоль оси, пока не наталкивается на жесткие пружины, расположенные по обе стороны (см. [172, 173]).

Рис. 3.4. Модель эксперимента с колебаниями массы с фазами отключения восстанавливающей силы.

Более близкий физический смысл имеет другая математическая модель, в которой шарик подскакивает на колеблющейся поверхности (рис. 3.5). Эта задача изучалась Холмсом [75]. Сделав некоторое предположение о потерях энергии при каждом соударении, можно получить следующие разностные уравнения:

Здесь — обезразмеренный момент времени соударения, а — скорость после него. Как явствует из рис. 3.5, а, стационарное синусоидальное движение стола может привести к непериодическому движению шарика. Хаотическая орбита этого отображения, имеющая вид фрактального множества, показана на рис. 3.5, б.

В работе [196] описаны эксперименты с хаотически подскакивающим шариком; другие исследования соударений или билинейного осциллятора можно найти в [88, 191, 192].

Рис. 3.5. а — Хаотическая эволюция движения шарика, подскакивающего на периодически колеблющемся столе [75]; б — отображение Пуанкаре для движения, показанного на рисунке «в»: скорость при ударе как функция момента времени .