КРИТЕРИИ ДЛЯ ДВИЖЕНИЙ В ПОТЕНЦИАЛАХ С МНОГИМИ ЯМАМИ

В этом разделе мы опишем частный критерий для хаотических колебаний в задачах с потенциалом, имеющим много ям. К числу таких задач относится продольный изгиб балки (гл. 2) и магнитный дипольный двигатель с многими полюсами. В физике твердого тела междоузельный атом, внедренный в регулярную решетку, может иметь несколько положений равновесия. Нередко силы, действие которых приводит к такого рода движениям, являются потенциальными. Пусть — набор обобщенных координат, — потенциал, связанный с консервативной частью силы, такой, что есть обобщенная сила, соответствующая степени свободы (координате ). Для одной степени свободы частный случай уравнений движения имеет вид

(5.3.35)

(учтены линейное затухание и периодическая вынуждающая сила). Как показано на рис. 5.23, потенциал имеет много локальных минимумов, соответствующих устойчивым положениям равновесия. При малых вынуждающих силах система совершает периодические колебания в одной из потенциальных ям. При большей вынуждающей силе движение «расплескивается» и «заполняет» другие ямы, отчего нередко возникает хаос. Критерий, о котором сейчас идет речь, позволяет определить, при какой амплитуде вынуждающей силы периодическое движение в одной потенциальной яме захватывает другую яму.

Рис. 5.23. Потенциал с многими ямами и соответствующее ему разбиение фазовой плоскости.

Для иллюстрации этого критерия рассмотрим частицу в симметричном потенциале с двумя ямами (например, задачу о продольном изгибе балки из гл. 2):

(5.3.36)

Так как нас интересует критерий перехода от периодического движения к хаотическому, воспользуемся стандартной теорией возмущений и выведем соотношение между амплитудой вынужденного движения означает усреднение по времени) и параметрами и , а затем попытаемся найти критическое значение , не зависящее от вынуждающей амплитуды, т. е.

(5.3.37)

Левая часть соотношения (5.3.37) получена с помощью классической теории возмущений, а правая основана на эвристическом постулате.

Чтобы реализовать эту программу для потенциала с двумя ямами, запишем уравнение (5.3.36) в координатах, центрированных от» носительно одного из положений равновесия:

Чтобы получить параметр возмущения, запишем . Тогда уравнение движения примет следующий вид:

(5.3.38)

Фазовый угол выбран так, что в первом порядке теории возмущения движение X было пропорционально . Результирующее периодическое движение при малых имеет вид

(5.3.39)

Используя либо метод Дуффинга, либо метод возмущений Линдштедта (см., например, [180]), получаем соотношение между амплитудой вынуждающей силы и другими параметрами задачи:

(5.3.40)

Опираясь на результаты численных экспериментов, мы постулируем существование критической скорости.

Мы предполагаем, что хаос близок, когда максимальная скорость движения близка к максимальной скорости на сепаратрисе в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) незатухающего осциллятора в отсутствие вынуждающей силы. В исходных переменных этот критерий (см. ряс. 5.24) имеет вид соотношения

(5.3.41)

где а — величина, близкая к единице. Подставляя соотношение (5.3.41) в (5.3.40), получаем нижнюю границу на основе критерия хаотических колебаний:

Это выражение было экспериментально проверено автором той книги [136] и, как видно из рис. 5.2, , по-видимому, дает превосходное согласие с экспериментальными границами хаоса. При слабом затухании этот критерий дает гораздо лучшую границу, чем критерий с гомоклинической траекторией, использующий функцию Мельникова.

Как показано на рис. 5.24, этот критерий аналогичен критерию перекрытия, предложенному Чириковым, а именно: хаос возникает, когда регулярное движение становится слишком интенсивным.

Метод, кратко изложенный в этом разделе, был также использован при решении задачи с потенциалом, имевшим три ямы, и был успешно подтвержден в экспериментах с колеблющейся балкой, имевшей три положения равновесия [106].

Дауелл и Пезешки [31] предложили другой эвристический критерий для задач о потенциале с двумя ямами (5.3.36).

Рис. 5.24. Критерий перекрытия резонансов для задачи с потенциалом, имеющим много ям, на основе полукпассических методов анализа.

Рис. 5.25. Области притяжения для различных начальных условий в задаче об осцилляторе в потенциале с двумя ямами [31] (American Society of Mechanical Engineer, ® 1985).

Вместо того чтобы сравнивать размеры периодических траекторий с размерам траекторий в задаче без затухания и в отсутствие вынуждающей силы, эти авторы сравнили размеры предхаотических, периодических субгармонических траекторий для осциллятора под действием вынуждающей силы с размерами границы области притяжения для задачи с затуханием, но без вынуждающей силы (рис. 5.25). Эта граница представляет собой множество начальных условий , при которых траектории идут к левому или к правому положению равновесия, не пересекая геометрического места точек Дауэлл и Пезешки, используя численное моделирование, заметили также, что вынужденное движение становится хаотическим, когда амплитуда вынуждающей силы больше того значения, при котором периодическая орбита касается границы области притяжения. (Более подробно о границах областей притяжения см. гл. 6.)

Критерии, полученные на основе классического анализа возмущений. У тех, кто делает первые шаги в области нелинейной динамики, под влиянием сложившихся сейчас направлений в исследованиях может создаться неверное представление о том, что до открытия детерминированного хаоса эта область пребывала в состоянии глубокой спячки. Однако существует обширная литература, описывающая математические методы теории возмущений для вычисленных первичных и субгармонических резонансов, а также характеристик устойчивости решений нелинейных систем (см., например, монографию Найфаха и Мука [148]).

Неудивительно поэтому, что стали появляться работы, авторы которых пытаются использовать для нахождения критериев хаотического движения более классические методы анализа. Например, Найфах и Хдейр [149] используют теорию возмущений для предсказания бифуркаций удвоения и утроения периода как предвестников хаотических колебаний морских судов на регулярном волнении.

В другой работе Шемплинска — Ступницка и Байковский [186] исследовали осциллятор Дуффинга, с которым проводил эксперименты Уэда (3.2.25). Используя теорию возмущений, эти авторы нашли субгармонические решения и с помощью классического анализа устойчивости установили связь между возникновением хаоса и потерей устойчивости субгармониками. Свои выводы эти авторы проверили на численном эксперименте. По их мнению, в аттракторе Дуффинга — Уэды (3.2.35) хаотическое движение является переходной зоной между субгармоническими и резонансными гармоническими решениями.

Хотя автор настоящей книги глубоко убежден в том, что хаотическое движение по самой своей природе более тесно связано с такими математическими образами, как отображения типа подковы, фракталами и гомоклиническими траекториями, использование полуклассических методов теории возмущений может давать для некоторых классов нелинейных систем более удобные с практической точки зрения аналитические критерии хаоса.