6.4. ОПТИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Все рассмотренные выше методы вычисления фрактальной раз мерности странных аттракторов требуют использования мощные цифровых микро- или мини-компьютеров. Однако с точки зрения экспериментатора естественно спросить, нельзя ли измерять фрактальные размерности динамических систем непосредственно, используя аналоговые устройства так же, как мы измеряем другие динамические свойства, например скорость и ускорение. В общем случае для динамической системы с многими степенями свободы ответ неизвестен; но в некоторых простых задачах фрактальная размерность двумерного отображения Пуанкаре может быть измерена оптическими методами (см. [102]). В основе такого подхода лежит оптическая интерпретация корреляционной функции (6.2.5)

Схема, иллюстрирующая этот подход, представлена на рис. 6.17. Напомним, что вычисление корреляционной функции включает подсчет числа точек в кубе или сфере, описанных вокруг каждой точки фрактального множества. Оптический метод использует параллельную обработку информации, позволяющий находить число точек в окрестности всех точек фрактального множества сразу. Свет, идущий от одной пленки, создает на другой пленке освещенный кружок. Если каждая пленка представляет собой точную копию сечения Пуанкаре странного аттрактора, то полный световой поток, испускаемый второй пленкой, пропорционален корреляционной функции.

Рис. 6.17. Схема, иллюстрирующая основной принцип параллельного оптического измерения корреляционной функций и фрактальной размерности плоского распределения точек.

Изменяя расстояние между пленками на рис. 6.17, мы тем самым изменяем радиусы небольших кругов и получаем возможность определить зависимость корреляционной функции от радиуса . График зависимости от позволяет найти фрактальную размерность D отображения Пуанкаре.

Если исследуемое отображение есть отображение Пуанкаре с временем в качестве параметра, то размерность аттрактора равна 1 + D.