ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ

Признаки хаотических колебаний, описанные в этой главе, носят в основном качественный характер и требуют от исследователя применения доли здравого смысла и опыта. Имеются и количественные признаки хаоса, использование которых приносит определенный успех. Два наиболее распространенных критерия — это показатель Ляпунова (см. гл. 5) и фрактальная размерность (см. гл. 6).

Если не вдаваться в подробности, эти два индикатора сейчас используются следующим образом:

1) положительный показатель Ляпунова указывает на хаотическую динамику;

2) фрактальная структура орбиты в фазовом пространстве указывает на присутствие странного аттрактора.

Проверка с применением показателя Ляпунова может использоваться как в диссипативных, так и в бездиссипативных (консервативных) системах, а фрактальные размерности имеют смысл только в диссипативных системах.

С помощью показателей Ляпунова проверяется чувствительность системы к вариациям начальных условий. Идея такой проверки заключается в том, чтобы мысленно выделить в фазовом пространстве небольшой шар, в котором сосредоточены начальные точки траекторий, и проследить за его деформацией в эллипсоид в ходе динамической эволюции системы. Если d — максимальный размер эллипсоида, а — начальный размер сферы начальных условий, то смысл показателя Ляпунова X явствует из соотношения

Заметим, что единичного измерения недостаточно и результаты расчета следует усреднить по разным участкам фазового пространства. Такое среднее может иметь вид

Более подробное обсуждение и ссылки приведены в гл. 5.

Понятие фрактальной размерности связано с обсуждением отображения «подкова», приведенным в гл. 1. Мы видели, что в системах с хаотической динамикой области фазового пространства вытягиваются, сжимаются, складываются и отображаются обратно на исходную область. При этом отображении в фазовом пространстве остаются лакуны. Это значит, что орбиты стремятся заполнить менее чем целое подпространство фазового пространства. Фрактальная размерность — мера степени заполнения орбитой определенного подпространства, и нецелая размерность — визитная карточка странного аттрактора. Имеется много определений фрактальной размерности, но основное следует из процедуры подсчета числа сфер N размера , необходимых для покрытия орбиты в фазовом пространстве. Функция существенным образом зависит от подпространства данной орбиты.

Если эта орбита периодична, т. е. принадлежит предельному циклу, то . Если же движение происходит на страииом аттракторе, то , т. е.

Дальнейшее обсуждение можно найти в гл. 6.

Хотя оба этих количественных теста можно автоматизировать с помощью компьютера, от исследователя по-прежнему требуются опыт и здравый смысл, чтобы достичь убедительного заключения о хаотичности движения, т. е. о присутствии странного аттрактора. И наконец, почти все физические примеры странных аттракторов оказались хаотическими, т. е. нецелое значением указывает на то, что . Однако были найдены и изучены несколько математических моделей, где из одного утверждения не следует другое (см., например, [51]).