Главная > Хаотические колебания
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ

Признаки хаотических колебаний, описанные в этой главе, носят в основном качественный характер и требуют от исследователя применения доли здравого смысла и опыта. Имеются и количественные признаки хаоса, использование которых приносит определенный успех. Два наиболее распространенных критерия — это показатель Ляпунова (см. гл. 5) и фрактальная размерность (см. гл. 6).

Если не вдаваться в подробности, эти два индикатора сейчас используются следующим образом:

1) положительный показатель Ляпунова указывает на хаотическую динамику;

2) фрактальная структура орбиты в фазовом пространстве указывает на присутствие странного аттрактора.

Проверка с применением показателя Ляпунова может использоваться как в диссипативных, так и в бездиссипативных (консервативных) системах, а фрактальные размерности имеют смысл только в диссипативных системах.

С помощью показателей Ляпунова проверяется чувствительность системы к вариациям начальных условий. Идея такой проверки заключается в том, чтобы мысленно выделить в фазовом пространстве небольшой шар, в котором сосредоточены начальные точки траекторий, и проследить за его деформацией в эллипсоид в ходе динамической эволюции системы. Если d — максимальный размер эллипсоида, а — начальный размер сферы начальных условий, то смысл показателя Ляпунова X явствует из соотношения

Заметим, что единичного измерения недостаточно и результаты расчета следует усреднить по разным участкам фазового пространства. Такое среднее может иметь вид

Более подробное обсуждение и ссылки приведены в гл. 5.

Понятие фрактальной размерности связано с обсуждением отображения «подкова», приведенным в гл. 1. Мы видели, что в системах с хаотической динамикой области фазового пространства вытягиваются, сжимаются, складываются и отображаются обратно на исходную область. При этом отображении в фазовом пространстве остаются лакуны. Это значит, что орбиты стремятся заполнить менее чем целое подпространство фазового пространства. Фрактальная размерность — мера степени заполнения орбитой определенного подпространства, и нецелая размерность — визитная карточка странного аттрактора. Имеется много определений фрактальной размерности, но основное следует из процедуры подсчета числа сфер N размера , необходимых для покрытия орбиты в фазовом пространстве. Функция существенным образом зависит от подпространства данной орбиты.

Если эта орбита периодична, т. е. принадлежит предельному циклу, то . Если же движение происходит на страииом аттракторе, то , т. е.

Дальнейшее обсуждение можно найти в гл. 6.

Хотя оба этих количественных теста можно автоматизировать с помощью компьютера, от исследователя по-прежнему требуются опыт и здравый смысл, чтобы достичь убедительного заключения о хаотичности движения, т. е. о присутствии странного аттрактора. И наконец, почти все физические примеры странных аттракторов оказались хаотическими, т. е. нецелое значением указывает на то, что . Однако были найдены и изучены несколько математических моделей, где из одного утверждения не следует другое (см., например, [51]).

1
Оглавление
email@scask.ru