ФРАКТАЛЬНАЯ ГРАНИЦА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ: ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ
В этом разделе мы рассмотрим движение частицы в потенциале с двумя ямами под действием периодической вынуждающей силы;
(6.5.2)
Как уже говорилось в предыдущих главах, динамика частицы может быть описана в трехмерном фазовом пространстве 
. Но ранее мы сосредоточивали свое внимание на хаотических движениях такой системы. Теперь же нас интересуют только движения, периодические относительно либо левого, либо правого положения равновесия 
Таким образом, в качестве аттракторов в этой задаче можно рассматривать предельные циклы. [Взяв отображение Пуанкаре асимптотического движения, мы получим конечное множество точек вблизи одного из положений равновесия (± 1,0).] Здесь мы не отличаем субгармоники с периодом 1 от субгармоники с периодом 3. Мы предполагаем, что вынуждающая сила 
достаточно мала и не вызывает хаотических колебаний и длиннопериодических субгармоник.
В нашем примере мы зафиксируем 
и будем изменять начальные условия. Результаты представлены на рис. 
и получены при численном моделировании с помощью алгоритма интегрирования Рунге—Кутта четвертого порядка (подробности см. в работе Муна и Ли [144]).
Результаты, представленные на рис. 6.23, показывают, что при достаточно малой амплитуде вынуждающей силы 
граница области гладкая, но когда 
превосходит некоторое критическое значение, граница становится фракталоподобной, как показано на рис. 6.24. (Этот рисунок построен по результатам интегрирования 
начальных условий.)
Рис. 6.23. Гладкая граница области притяжения для частицы, совершающей колебания в потенциале с двумя ямами под действием вынуждающей силы малой амплитуды. Аттракторами служат периодические орбиты вокруг правого и левого положения равновесия [144] (The American Physical Society, © 1985).
Рис. 6.24. Фракталоподобные области притяжения для движения частицы в потенциале с двумя ямами в случае, когда амплитуда вынуждающей силы превосходит критерий Мельникова (5.3.28) [144] (The American Physical Society, © 1985).
Рис. 6.25. Увеличенное изображение небольшой прямоугольной области пространства начальных условий на рис. 6.23 показывает фракталоподобную структуру в более мелком масштабе [144] (The American Physical Society, © 1985).
Нам было необходимо удостовериться в том, что граница области притяжения фрактальна. Для этого мы выбрали небольшой участок пространства начальных условий и увеличили его. Результат этой операции представлен на рис. 6.25. Мы видим, то при переходе ко все более мелкому масштабу мы обнаруживаем все признаки фрактальной структуры. Эти результаты имеют важное значение для классической динамики в части, касающейся предсказуемости движения.
