5.3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
Поиск теоретических критериев для определения того, при каком наборе условий данная динамическая система войдет в хаотический режим, до сих пор велись лишь в каждом конкретном случае отдельно. Это означает, что теоретики в основном придерживались следующей стратегии: они находили критерии для конкретных математических моделей и затем, используя эти модели в качестве аналогов или парадигм, пытались сделать какие-то выводы относительно того, когда более общие или более сложные физические системы становятся непредсказуемыми. Примером такого рода может служить последовательность бифуркаций удвоения периода, рассмотренная Мэем [130] и Фейгенбаумом [37] для квадратичного отображения (см., например, гл. 1).
Хотя эти результаты были обобщены для более широкого класса одномерных отображений с помощью так называемой ренормгрупповой теории, критерий удвоения периода не всегда выполняется для отображений более высокой размерности. В случае механических и электрических колебаний сечение Пуанкаре решения в фазовом пространстве часто приводит к отображениям в пространстве двух и большего числа измерений. Тем не менее сценарий удвоения периода является одним из возможных путей перехода к хаосу. В более сложных физических системах понимание модели Мэя — Фейгенбаума может оказаться очень полезным при определении того, когда и почему встречаются хаотические движения.
В этом разделе мы кратко рассмотрим несколько основных теорий хаоса и исследуем, как они приводят к критериям, которые могут оказаться полезными для предсказания или диагностики хаотического поведения в реальных системах. Эти теории включают в себя следующее:
а) удвоение периода;
б) гомоклинические траектории и отображения типа подковы;
в) перемежаемость и переходный хаос;
г) критерии перекрытия резонансов для консервативного хаоса;
д) частные теории для задач с потенциалом, имеющим несколько ям.
