КРИТЕРИЙ ЧИРИКОВА ПЕРЕКРЫТИЯ РЕЗОНАНСОВ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОГО ХАОСА

Исследования хаотических движений в консервативных (без затухания) системах имеют более давнюю историю, чем привлекающие ныне всеобщий интерес исследования хаотических режимов в диссипативных системах. Но поскольку практическое приложение консервативных динамических систем ограничено такими областями, как небесная механика, физика плазмы и физика ускорителей, инженеры берут на вооружение успехи, достигнутые в динамике консервативных систем, не с такой готовностью, как успехи, достигнутые в других областях нелинейной динамики.

В этом разделе мы сосредоточим внимание на хаосе, возникающем при движении прыгающего шарика, упруго отражающегося от горизонтальной плоскости. С таким движением мы уже встречались в гл. 3 (рис. 3.5). Но возникающие разностные уравнения описывают также поведение связанных нелинейных осцилляторов (см., например, книгу Лихтенберга и Либермана [110]) и поведение электронов в электромагнитном поле. Уравнения (3.2.9) удара гравитирующей массы о поверхность колеблющегося при замене переменной принимают вид

(5.3.32)

где — скорость перед ударом, а — момент времени, когда происходит удар, нормированный на частоту колебаний стола (т. е. ). Величина К пропорциональна амплитуде колеблющегося стола на рис. 3.5.

Уравнения отличаются от уравнений (3.2.9) в силу предположения о том, что при ударе происходит потери энергии. Из него следует, что области начальных условий в фазовом пространстве сохраняют свою площадь при повторных итерациях отображений

На рис. показаны траектории на плоскости при двух различных значениях К.

Рассмотрим случай . Точки при соответствуют траекториям с периодом 1, т. е.

Решение этой системы уравнений имеет вид , берутся по . Решение вблизи устойчиво при Но решение вблизи неустойчиво и может соответствовать седловым точкам отображения.

Вблизи можно видеть траекторию с периодом 2, задаваемую решением системы уравнений

Рис. 5.21 а. Отображение Пуанкаре для движения шарика, упруго подпрыгивающего на колеблющемся столе (стандартное отображение) при в уравнения (5.3.32). Видны периодические и квазипериодические траектории.

Рис. 5.21 б. То же при . Видно, что появились стохастические траектории.

И в этом случае можно показать, что существуют и устойчивые, и неустойчивые точки периода 2. Можно также показать, что устойчивые точки существуют при условии .

Остальные траектории, кажущиеся на рис. 5.21 непрерывными, соответствуют квазипериодическим решениям, когда частота соударений шарика о стол несоизмерима с частотой колебаний стола. Наконец, на рис. 5.21, б (K = 1,2) представлены движения третьего типа: вблизи тех мест, где при меньших значениях параметра К существовали сеяла и сепаратрисы, идущие из седла в седло, мы видим облако точек. Это облако точек соответствует консервативному хаосу. При К < 1 оно локализовано в окрестности седловых точек. Но при блуждающая траектория становится глобальной — «размазывается» по всему фазовому пространству.

Как нетрудно заметить, на рис. 5.21, а (K = 0,6) все типы движения можно получить, просто выбирая различные начальные условия (так как нет затухания, нет аттракторов).

Критерий глобального хаоса в этой системе был предложен советским физиком Чириковым [21]. Он заметил, что при увеличении параметра К расстояние по вертикали между сепаратрисами, связанными с периодическими движениями периода 1 и периода 2, убывает. Если бы не вмешательство хаоса, то сепаратрисы перекрылись бы (рис. 5.22), отсюда название — критерий перекрытия.

Рис. 5.22. Схематическое изображение траекторий с периодом 1 и периодом 2 и сопутствующих квазипериодических траекторий для стандартного отображение используемого при выводе критерия Чирикова.

Разложив стандартное разложение (5.3.32) вблизи одного из таких периодических резонансов по малым К, мы получим, что размер области, ограничиваемой соответствующей сепаратрисой, составляет величину

(5.3.33)

В каждом из разложений не учитываются влияние остальных резонансов. Условие перекрытия состоит в том, что или

(5.3.34)

Из уравнения (5.3.34) находим: . Это значение является оценкой сверху критического значения для глобального хаоса, которое численно равно . Остальные подробности относительно критерия перекрытия читатель найдет в книге Лихтенберга и Либермана [110].

Читатель с более практическим складом ума может задать себе вопрос: а что произойдет, если ввести слабое затухание? В этом случае некоторые из мультипериодических субгармоник станут аттракторами, а овалы, окружающие эти аттракторы, перейдут в спирали, ограничивающие периодические движения. Что произойдет при этом с консервативным хаосом Из начальных условий в тех областях, где был консервативный хаос, развиваются долгопериодические переходные траектории, которые сначала блуждают по фазовому пространству и лишь затем выходят на периодическое движение. А как обстоит дело с реальными хаотическими движениями? При наличии затухания для возникновения их необходимо гораздо большая сила , при которой появляется фракталоподобный странный аттрактор (рис. 3.5). Таким образом, рассмотренный в этом разделе критерий перекрытия полезен только для строго консервативных гамильтоновых систем.