Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
КРИТЕРИЙ ЧИРИКОВА ПЕРЕКРЫТИЯ РЕЗОНАНСОВ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОГО ХАОСАИсследования хаотических движений в консервативных (без затухания) системах имеют более давнюю историю, чем привлекающие ныне всеобщий интерес исследования хаотических режимов в диссипативных системах. Но поскольку практическое приложение консервативных динамических систем ограничено такими областями, как небесная механика, физика плазмы и физика ускорителей, инженеры берут на вооружение успехи, достигнутые в динамике консервативных систем, не с такой готовностью, как успехи, достигнутые в других областях нелинейной динамики. В этом разделе мы сосредоточим внимание на хаосе, возникающем при движении прыгающего шарика, упруго отражающегося от горизонтальной плоскости. С таким движением мы уже встречались в гл. 3 (рис. 3.5). Но возникающие разностные уравнения описывают также поведение связанных нелинейных осцилляторов (см., например, книгу Лихтенберга и Либермана [110]) и поведение электронов в электромагнитном поле. Уравнения (3.2.9) удара гравитирующей массы о поверхность колеблющегося при замене переменной принимают вид
где Уравнения На рис. Рассмотрим случай
Решение этой системы уравнений имеет вид Вблизи
Рис. 5.21 а. Отображение Пуанкаре для движения шарика, упруго подпрыгивающего на колеблющемся столе (стандартное отображение) при
Рис. 5.21 б. То же при И в этом случае можно показать, что существуют и устойчивые, и неустойчивые точки периода 2. Можно также показать, что устойчивые точки существуют при условии Остальные траектории, кажущиеся на рис. 5.21 непрерывными, соответствуют квазипериодическим решениям, когда частота соударений шарика о стол несоизмерима с частотой колебаний стола. Наконец, на рис. 5.21, б (K = 1,2) представлены движения третьего типа: вблизи тех мест, где при меньших значениях параметра К существовали сеяла и сепаратрисы, идущие из седла в седло, мы видим облако точек. Это облако точек соответствует консервативному хаосу. При К < 1 оно локализовано в окрестности седловых точек. Но при Как нетрудно заметить, на рис. 5.21, а (K = 0,6) все типы движения можно получить, просто выбирая различные начальные условия (так как нет затухания, нет аттракторов). Критерий глобального хаоса в этой системе был предложен советским физиком Чириковым [21]. Он заметил, что при увеличении параметра К расстояние по вертикали между сепаратрисами, связанными с периодическими движениями периода 1 и периода 2, убывает. Если бы не вмешательство хаоса, то сепаратрисы перекрылись бы (рис. 5.22), отсюда название — критерий перекрытия.
Рис. 5.22. Схематическое изображение траекторий с периодом 1 и периодом 2 и сопутствующих квазипериодических траекторий для стандартного отображение используемого при выводе критерия Чирикова. Разложив стандартное разложение (5.3.32) вблизи одного из таких периодических резонансов по малым К, мы получим, что размер области, ограничиваемой соответствующей сепаратрисой, составляет величину
В каждом из разложений не учитываются влияние остальных резонансов. Условие перекрытия состоит в том, что
Из уравнения (5.3.34) находим: Читатель с более практическим складом ума может задать себе вопрос: а что произойдет, если ввести слабое затухание? В этом случае некоторые из мультипериодических субгармоник станут аттракторами, а овалы, окружающие эти аттракторы, перейдут в спирали, ограничивающие периодические движения. Что произойдет при этом с консервативным хаосом
|
1 |
Оглавление
|