ПОДТАЛКИВАЕМЫЙ РОТАТОР

Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения «подкова» (см. рис. 1.21) или логистического уравнения (1.3.6), хаотическая природа динамических процессов лучше всего выявляется с помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инерции J и затуханием с, на который действует как постоянный крутящий момент так и периодическая серия импульсных толчков (см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение углового момента ротатора, имеет вид

(3.2.19)

Выражение обозначает дельта-фуикцию, которая равна нулю повсюду, кроме значений и площадь под которой равна единице. Таким образом, в промежутки времени , где изменение углового момента описывается соотношением

(3.2.20)

Если, например, ротатор подталкивается вертикальной силой, как показано на рис. 3.10, то импульсный крутящий момент пропорционален .

При уравнение (3.2.19) имеет стационарное решение

Рис. 3.10. Ротатор с вязким затуханием и периодическим крутящим моментом, исследованный Заславским [213].

Чтобы получить отображение Пуанкаре, выберем сечение непосредственно перед каждым импульсом. Итак, определим . Чтобы связать , необходимо решить линейное дифференциальное уравнение для периода между импульсами и использовать условие скачка углового момента (3.2.20) в момент импульса. Между импульсами скорость вращения ведет себя следующим образом:

С помощью этой процедуры можно получить следующее точное отображение Пуанкаре для рассматриваемой системы (3.2.19):

(3.2.21)

Эти уравнения были впервые получены советским физиком Заславским [213] при изучении нелинейного взаимодействия двух осцилляторов. В рассматриваемом механическом аналоге этой задачи величина аналогична частоте отдельного осциллятора (см. также вывод уравнений в [151]).

Это двумерное отображение часто обезразмеривают посредством соотношений

Тогда при уравнения (3.2.21) принимают вид

(3.2.22)

где фигурные скобки обозначают, что берется только дробная часть выражения (т.е. или ). Кроме того, здесь введены обозначения

Рис. 3.11. Странный аттрактор отображения Заславского (3.2.22) для подталкиваемого ротатора, изображенного на рис. 3.10; х — нормированный угол поворота, у — угловая скорость.

Величиной измеряется отклонение скорости вращения от иевозмущенного равновесного значения . Отметим, что это отображение сжимает площади при и сохраняет их при

Можно показать, что при малых эта система двух разностных уравнений имеет хаотические решения только при выполнении следующих условий:

(3.2.23)

На рис. 3.11 показано типичное решение, полученное для значений параметров

Задача о подталкиваемом двойном ротаторе, системе с двумя степенями свободы, была рассмотрена в [94, 95].