ОТОБРАЖЕНИЯ ПУАНКАРЕ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО ПОЛОЖЕНИЯМ

Когда экспериментатор не располагает естественными часами системы, подобными периодическому возбуждению, для получения отображения Пуанкаре приходится применять более сложные методы (см. также [69]).

Пусть движение представлено траекторией в трехмерном пространстве с координатами (x,y,z). Для построения отображения Пуанкаре мы пересекаем траекторию плоскостью, уравнение которой имеет вид

(4.6.3)

как показано на рис. 4.11. Отображение Пуанкаре состоит из тех точек этой плоскости, в которых траектория проходит сквозь нее с определенной стороны (т.е. если мы определим лицевую и заднюю стороны плоскости (4.6.3), то следует фиксировать только те точки траектории, в которых она проходит с лица на обратную сторону, или наоборот, но не в обоих направлениях).

В эксперименте это можно сделать с помощью механического или электронного индикатора уровня. Примеры отображений Пуанкаре, построенных по положению, обсуждаются ниже.

В случае осциллятора с соударениями, изображенного на рис. 4.12, имеются три удобные переменные, описывающие его состояние: координата х, скорость v, а также фаза возбуждающего сигнала . Если измерения проводятся в том положении, когда масса наталкивается на упругий ограничитель, то отображение Пуанкаре составляется набором значений , где — скорости до или после соударения, — момент времени соударения.

Рис. 4.11. Сечение Пуанкаре общего положения для движения динамической системы третьего порядка.

Рис. 4.12. Схематическое изображение экспериментальной установки для построения течения Пуанкаре по положению.

В этом случае точки отображения можно откладывать в цилиндрическом пространстве с .

На рис. 4.12 показан пример экспериментальной установки для получения отображения Пуанкаре для . Когда масса наталкивается на ограничитель движения, тензодатчик или акселерометр выдают резкий сигнал. Этот сигнал можно использовать для включения устройства запоминания данных (подобного запоминающему или цифровому осциллографу), которое запоминает значение скорости тела. (В случае, показанном на рис. 4.12, для измерения положения используется линейный дифференциальный трансформатор, и его сигнал дифференцируется электронным устройством для получения скорости.)

Рис. 4.13. Отображение Пуанкаре, построенное по положению осциллирующей массы с упругими ограничителями движения (см. рис. 4.12).

Для определения фазы , изменяющейся между 0 и мы генерировали периодический пилообразный сигнал, находящийся в фазе с сигналом возбуждения, причем минимальное нулевое значение соответствовало а максимальное напряжение — . Генерируемый столкновением резкий импульс напряжения используется для включения запоминающего устройства, которое фиксирует значение пилообразного напряжения, а также величину скорости до или после удара. Отображение Пуанкаре для массы, отскакивающей от двух упругих стенок, которое получено с помощью техники , показано на рис. 4.13.

Еще один пример установки такого же типа для построения отображения Пуанкаре хаотических вибраций двигателя показан на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Схема экспериментальной установки для получения отображений Пуанкаре по положению для периодически возбуждаемого ротора с нелинейным соотношением крутящего момента и угла поворота.

В этом примере двигатель характеризуется нелинейным соотношением крутящего момента и угла поворота, которое создается постоянным током в одном из полюсов статора, а ротор с постоянным магнитом вращается благодаря синусоидальному моменту, который создается переменным током в соседней катушке. Это устройство описывается уравнением

(4.6.4.)

Для получения отображения Пуанкаре мы выбрали плоскость в трехмерном пространстве , на которой (рис. 4.14). Экспериментально это осуществляется с помощью щели в тонком диске, насаженном на ось ротора, и светодиода с детектором, которые генерируют импульс напряжения каждый раз, когда ротор пересекает плоскость (см. рис. 4.14). Затем этот импульс используется для регистрации скорости и фиксирования времени. Полученные данные можно вывести непосредственно на запоминающий осциллограф или же с помощью компьтютера их можно перевести в полярные координаты, как показано на рис. 4.15.

Рис. 4. 15. Отображение Пуанкаре, построенное по положению для хаотического режима нелинейного ротатора (см. рис. 4.14).

Рис. 4.16. Отображения Пуанкаре, построенные по максимуму магнитного потока для электрической цепи с нелинейной индуктивностью (18] (The American Physical Society, © 1984).

Другой вариант метода сечений Пуанкаре заключается в регистрации данных в те моменты, когда какая-либо переменная достигает максимального значения. Этот способ применяли Брайант и Джеффрис [18] из Калифорнийского университета в Беркли. Они изучали динамику показанной на рнс. 4.16 цепи с нелинейной индуктивностью, железный сердечник которой обнаруживал гистерезис. (Нелинейные свойства создаются ферромагнитным материалом индуктивности.) Ток через индуктивность и возбуждающее напряжение измерялись в те моменты, когда . Это равносильно измерению пикового значения потока через катушку индуктивности. Действительно, , где — магнитный поток в индуктивности, а , так что при поток максимален или минимален. Тогда отображение Пуанкаре составляется из набора пар точек который можно вывести на запоминающий или цифровой осциллограф.