4.5. БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ
Как обсуждалось в гл. 2, одним из признаков приближения динамической системы к хаотическому режиму является серия измерений характера периодического движения по мере изменения некоторого параметра. В типичном случае осциллятора с одной степенью свободы, при приближении управляющего параметра к значению, критическому для хаотического движения, возникают субгармонические колебания. В «логистическом уравнении», ставшем теперь классическим примером, возникают ряды колебаний с периодом 2 (см. (1.3.6)). Явление внезапной перестройки движения при изменении параметра называется бифуркацией. На рис. 4.5 приведен пример экспериментальной бифуркационной диаграммы. Такие диаграммы получаются в эксперименте с помощью временной выборки измерений движения, как при построении отображения Пуанкаре, и отображения этой выборки на осциллографе, как показано на рис. 4.5. Здесь по горизонтальной оси откладывается величина управляющего параметра, например амплитуда или частота возбуждения, а по вертикальной — значения координаты из временной выборки. По сути дела эта диаграмма описывает целую серию экспериментов, каждый из которых проводится при определенном значении управляющего параметра. Такую диаграмму можно получить довольно быстро, если есть возможность автоматического изменения управляющего параметра, например с помощью компьютера и преобразователя цифрового сигнала в аналоговый.
Рис. 4.5. Экспериментальная бифуркационная диаграмма колебаний продольно изогнутого стержня — выборки Пуанкаре изгибного смешения как функция амплитуды возбуждающего колебания.
Необходимо, однако, проявить достаточную осторожность и убедиться, что после каждого изменения управляющего параметра успевают затухнуть переходные процессы.
На бифуркационной диаграмме рис. 4.5 непрерывные горизонтальные линии соответствуют периодическому движению различных субгармоник. Значения внутри областей, очерченных штриховыми линиями, соответствуют хаотическим режимам. На этой диаграмме ясно видна граница между хаотическим и периодическим движениями.
При автоматизации таких измерений нужно позаботиться, чтобы не принять квазипериодическое движение за хаотическое. Отображения Пуанкаре остаются очень полезным инструментом отделении квазипериодических и хаотических движений.
