ПРИЛОЖЕНИЕ А. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ ПО ХАОТИЧЕСКИМ И НЕЛИНЕЙНЫМ КОЛЕБАНИЯМ

Аттрактор Множество точек или подпространство в фазовом пространстве, к которому приближается траектория после затухания переходных процессов. Классическими примерами аттракторов в динамике могут служить точки равновесия или неподвижные точки отображений, предельные циклы или поверхности торов для квазипериодических движений.

Бифуркация Изменение характера движения динамической системы на большом временном интервале при изменении одного или нескольких параметров. Например, при сжатии стержня происходит выпучивание, и одно состояние равновесия, потеряв устойчивость, сменяется двумя новыми устойчивыми состояниями равновесия.

Бифуркация Хопфа Рождение предельного цикла из состояния равновесия при изменении некоторого названия. Свое название эта бифуркация получила в честь математика, сформулировавшего точные условия ее существования у динамической системы.

Гамильтонова механика Формально метод, позволяющий записывать уравнения движения динамической системы с N степенями свободы в виде 2N дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [Гамильтон (1805—1865)]. На практике под гамильтоновой механикой часто понимают теорию недиссипативных систем с потенциальными силами.

Гетероклиническая траектория Траектория, возникающая при пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий различных седловых точек отображения.

Глобальные/локальные движения Под локальными движениями принято понимать траектории динамических систем, не уходящие далеко от точек равновесия.

Под глобальными движениями обычно понимают движения в промежутках между точками равновесия или от одной точки равновесия до другой, а также траектории, не остающиеся в какой-нибудь малой области фазового пространства.

Гомоклиническая траектория Траектория, возникающая при пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий одной седловой точки.

Детерминированная система Динамическая система, уравнения движения, параметры и начальные условия которой известны и не являются стохастическими или случайными. Некоторые движения детерминированных систем могут казаться случайными.

Емкость Одна из многих фрактальных размерностей множества точек. Основная идоя емкостной размерности состоит в подсчете минимального числа кубов с ребром , необходимых для покрытия данного множества точек. Если это число при ведет себя как то показатель d называется емкостной фрактальной размерностью.

Инвариантная мера Функция распределения, описывающая вероятность при найти траекторию системы в данной области фазового пространства.

Канторовское множество Формально множество точек, остающееся после выбрасывания из единичного интервала средней трети и неоднократного повторения этой операции над остающимися интервалами. В пределе такая операция приводит к фрактальному множеству точек на прямой с размерностью, заключенной между 0 и

Квазипериодические колебания Колебания с двумя или более несоизмеримыми частотами.

Комбинационные тоны (см. также квазипериодические колебания) В теории колебаний и акустике, частоты, представимые в виде суммы или разности двух основных частот; более общо, частоты вида где — целые положительные или отрицательные числа, — основные частоты.

Конвекция Рэлея — Бенара Циркуляционное движение жидкости, возникающее под действием градиента температур и гравитационных сил. Модель хаотического движения Лоренца была предложена для моделирования некоторых особенностей динамики тепловой конвекции.

Линейный оператор Любая математическая операция (например, дифференцирование, умножение на константу), действие которой на сумму двух функций совпадает с суммой ее действий на каждую из функций слагаемых.

Линейный оператор тесно связан с принципом суперпозиции.

Многообразие Подпространство фазового пространства, в котором остаются под действием дифференциальных или разностных уравнений их решения, если начальные условия были выбраны в данном подпространстве.

Множество Мандельброта. Если — комплексное переменное, то квадратичное отображение с имеет более чем один аттрактор. Фиксируя начальные условия и изменяя комплексный параметр с, можно определить область притяжения как функцию параметра с. Возникающая при этом граница области притяжения оказывается фрактальной, а сама область известна под названием множества Мандельброта в честь математика, работающего ныие в фирме IBM.

Нелинейность Свойство системы с входом и выходом или математической операции, у которых сигнал на выходе (результат операции) не пропорционален сигналу на входе. Например, операции или или нелинейны.

Неподвижная точка см. Точка равновесия.

Область притяжения Множество начальных условий в фазовом пространстве, из которых траектории выходят на какое-нибудь конкретное движение или аттрактор. Обычно это множество точек связано и образует непрерывное подпространство в фазовом пространстве. Но граница между различными областями притяжения может быть, а может и не быть гладкой.

Отображение Математическое правило, ставящее в соответствие одному множеству точек в некотором -мерном пространстве другое множество точек. При итерации такого правила отображение аналогично системе разностных уравнений.

Отображение окружности на себя Отображение или разностное уравнение, ставящее в соответствие точкам окружности точки той же окружности. В теории двух связанных осцилляторов некоторые траектории в фазовом пространстве можно рассматривать как движение по поверхности тора. Сечение Пуанкаре, проходящее по меридиану (меньшему диаметру) тока, порождает отображение окружности на себя.

Отображение пекаря Преобразование плоскости (отображение плоскости на плоскости), которое растягивает прямоугольную площадку в одном направлении, сжимает ее в поперечном направлении, разрезает пополам и помещает одну половину поверх другой.

Аналогично преобразованию типа подковы. Повторные итерации отображения пекаря превращают исходное множество точек во фрактальную структуру.

Названо по сходству с операциями, производимыми пекарем, месящим кусок теста.

Отображение Пуанкаре см. Сечение Пуанкаре.

Отображение типа подковы Отображение плоскости на плоскость, сводящееся к следующему. Нижняя половина прямоугольной области растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в некоторой части левой полуплоскости, а верхняя половина той же прямоугольной площадки растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в правой полуплоскости. Весь процесс напоминает преобразование исходной прямоугольной площадки в подковообразное множество, отсюда и название. По своим свойствам отображение типа подковы аналогично отображению пекаря. Повторные итерации отображения типа подковы могут порождать фракталоподобные множества точек.

Отображение Энона Система двух связанных разностных уравнений с одним квадратичным нелинейным членом. Если параметр отображения Энона положить равным нулю, то уравнения напоминают логическое, или квадратичное, отображение. Названо в честь французского астронома Энона.

Перемежаемость Тип хаотического движения, при котором длительные временные интервалы регулярного, периодического или стационарного движения сменяются короткими всплесками движения, напоминающими по своим свойствам случайное движение. Временные интервалы между хаотическими всплесками не фиксированы, а непредсказуемы.

Перенормировка (метод ренормгруппы) Математическая теория из области функционального анализа, в которой свойства некоторой системы уравнений в одном масштабе могут быть с помощью подходящей замены переменных связаны со свойствами этой системы уравнений в другом масштабе. Разработана лауреатом Нобелевской премии физиком К. Вильсоном (Корнеллский университет). Используется в теории квадратичных отображений при выводе чисел Фейгенбаума.

Перестройка (смена устойчивости, выход на новый устойчивый режим) Термин математической теории устойчивости, описывающий серию задач, близких к одной идеализированной задаче, возникающий при введении малой асимметрии в задачу с симметрией или слабого затухания в недиссипативную динамическую систему. Изменение устойчивости или динамических свойств идеализированной задачи при введении в нее некоторых неидеализированных членов и называется перестройкой.

Переходный хаос Движение, которое на конечном временном интервале выглядит как хаотическое, т. е. траектория как бы движется по странному аттрактору, но затем выходит на периодическое или квазипериодическое движение.

Показатели Ляпунова Числа, служащие мерой экспоненциального сближения или разбегания со временем двух соседних траекторий в фазовом пространстве с различными начальными условиями. Положительный показатель Ляпунова свидетельствует о существовании хаотического движения в динамической системе с ограниченными траекториями. Названы в честь русского математика Ляпунова (1857—1918).

Положение равновесия В непрерывной динамической системе точка в фазовом пространстве, к которой приближается траектория после затухания переходных режимов (при ). в механических системах под положением равновесия обычно имеют в виду состояние с нулевым ускорением и нулевой скоростью. В отображениях положениями равновесия могут быть конечные множества: при итерациях отображения или разностного уравнения система последовательно переходит от одной точки такого множества к другой. (Положение равновесия называется также неподвижной точкой.)

Почти периодическая траектория Траектория, временная зависимость которой состоит из нескольких дискретных несоизмеримых частот.

Предельный цикл В технической литературе периодическое движение, возникающее в самовозбуждающейся или автономной системе (например, аэроупругий флаттер или электрические автоколебания). В литературе по динамическим системам предельный цикл относится и к вынужденным периодическим движениям.

Размерность Хаусдорфа Математическое определение фрактальных свойств, связанных с емкостной размерностью.

Самоподобие (автомодельность) Свойство множества точек, геометрическая структура которого в одном масштабе подобна его геометрической структуре в другом масштабе. (См. также Фрактал, Перенормировка.)

Седло (седловая точка) В геометрической теории обыкновенных дифференциальных уравнений точка равновесия с вещественными собственными значениями, из которых по крайней мере одно положительно и одно отрицательно.

Сечение см. Сечение Пуанкаре.

Сечение (отображение) Пуанкаре Последовательность точек в фазовом пространстве, порождаемая пересечением непрерывной траекторией с поверхностью общего вида или плоскостью в пространстве.

Для нелинейного осциллятора с периодической вынуждающей силой, задаваемого обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, отображение Пуанкаре может быть получено стробоскопированием положения и скорости в определенной фазе вынуждающей силы [А. Пуанкаре (1854—1912)].

Символическая динамика Динамическая модель, в которой дискретизовано не только время, но и переменные состояния принимают только конечное множество значений, например (-1,0, 1). Так как допустимое множество значений, конечно, можно сопоставить им любой набор символов, например (L, С, R). Тогда динамической траектории будет соответствовать некоторая последовательность символов. Методы символической динамики используются также в теории клеточных автоматов.

Стохастический процесс Тип хаотического движения, встречающийся в консервативных, или недиссипативных, динамических системах.

Странный аттрактор Притягивающее множество в фазовом пространстве, по которому движутся хаотические траектории. Любой аттрактор, который не является положением равновесия, предельным циклом или квазипериодическим аттрактором. Аттрактор в фазовом пространстве с фрактальной размерностью.

Теория КАМ Теория существования периодических или квазипериодических движений в нелинейных гамильтоновых системах (т. е. в системах без диссипации с потенциальными силами), развитая Колмогоровым, Арнольдом и Мозером. Теория КАМ утверждает, что при добавлении к линейной системе небольших нелинейностей регулярные движения продолжают существовать.

Теория катастроф Во многих физических системах положения равновесия находят исходя из потенциала: приравнивая нулю производные потенциала по обобщенным координатам. Теория катастроф занимается изучением зависимости числа положений равновесия от параметров задачи, например от нагрузок в упругих системах. Теория катастроф предсказывает, что вблизи некоторых критических значений таких параметров число положений равновесия изменяется заранее известным образом и что эти изменения носят универсальный характер для некоторых классов потенциалов. Основателем теории катастроф принято считать французского математика Рене Тома. В строительной механике независимо развивался свой частный вариант теории катастроф, занимавшийся изучением чувствительности критических нагрузок с дефектами структуры.

Течение Тейлора — Куэтта Течение жидкости между двумя вращающимися концентрическими цилиндрами.

Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве, происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одного осциллятора, круговое движение по окружности большего радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движение периодическое, то траектория на поверхности тора после нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое, то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на торе.

Удвоение периода Обычно имеется в виду последовательность периодических колебаний, в которой при изменении некоторого параметра происходит удвоение периода. В классической модели бифуркации удвоения периода (половинной частоты) происходят через монотонно уменьшающиеся интервалы управляющего параметра. После прохождения критического значения параметра (точки накопления) возникают хаотические колебания. Такой сценарий перехода к хаосу наблюдался во многих физических системах, но не является единственным маршрутом, ведущим к хаосу. (См. Число Фейгенбаума.)

Универсальное свойство (универсальность) Свойство динамической системы, остающееся неизменным в пределах некоторого класса нелинейных задач. Например, число Фейгенбаума для последовательности бифуркационных параметров при удвоении периода является одним и тем же для некоторого класса нелинейных необратимых одномерных отображений.

Уравнение Ван дер Поля Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с линейной восстанавливающей силой и нелинейным затуханием, обладающее предельным циклом. Классическая математическая модель автоколебаний. [Названо в честь Б. Ван дер Поля (около 1927 г.).]

Уравнение Дуффинга Обыкновенное дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью и гармонической вынуждающей силой: . (Названо в честь г. Дуффинга (около 1918 г.).)

Уравнения Лоренца Система трех автономных дифференциальных уравнений, обладающая хаотическими решениями. Выведена и исследована Э. Н. Лоренцем в 1963 г. как модель конвекции в атмосфере. Эта система уравнений — одна из основных моделей хаотической динамики.

Уравнения Навье—Стокса Система трех дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая поле скоростей в потоке несжимаемой линейной вязкой жидкости [Навье (1785—1836), Стокс (1819—1903)].

Фазовое пространство В механике фазовое пространство — абстрактное математическое пространство, в котором координатами служат обобщенные координаты и обобщенные импульсы. В динамических системах, задаваемых системой эволюционных уравнений первого порядка, координатами служат переменные состояния, или компоненты вектора состояния.

Фрактал Геометрическое свойство множества точек в «-мер-ном пространстве, обладающего самоподобием при различных масштабах и нецелой фрактальной размерностью, меньшей чем .

Фрактальная размерность Количественная характеристика множества точек в -мерном пространстве, показывающая, насколько плотно точки заполняют подпространство, когда их число становится очень большим, (см. Емкость.)

Функция Мельникова Одна из теорий хаотического движения сосредоточивает внимание на седловых точках отображений Пуанкаре, порождаемых непрерывными потоками в фазовом пространстве. Вблизи таких точек имеются подпространства, по которым траектории сходятся к седловой точке (устойчивые многообразия), и подпространства, по которым траектории расходятся от седловой точки (неустойчивые многообразия). Функция Мельникова задает меру расстояния между такими устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. Теория, о которой идет речь, считает, что хаос возникает, когда устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются или когда функция Мельникова имеет простой нуль. [Функция названа в честь советского математика (около 1962 г.).]

Хаотическое движение Тип движения, чувствительный к изменениям начальных данных. Движение, при котором траектории, задаваемые незначительно отличающимися начальными данными, экспоненциально расходятся. Движение с положительным показателем Ляпунова.

Центральное многообразие В теории динамических систем движения в окрестности положения равновесия допускают классификацию по собственным значениям и подразделяются на устойчивые, неустойчивые и колебательные, или осцилляторные. Подпространство фазового пространства, образуемое чисто осцилляторными решениями, иногда называют центральным многообразием.

Число вращений Если система содержит два осциллятора с частотами , и , то число вращений на основе частоты , есть среднее число траекторий с частотой приходящихся на одну траекторию с частотой

Число Рейнольдса Безразмерная комбинация параметров в гидромеханике, пропорциональная скорости течения и характерной длине и обратно пропорциональная кинематической вязкости. Переход от ламинарного течения к турбулентному во многих задачах гидромеханики происходит при критическом значении числа Рейнольдса [О. Рейнольдс (1842—1912)].

Число Фейгенбаума Свойство динамической системы, связанное с последовательностью удвоения периода. Отношение последовательных разностей параметров бифуркации удвоения периода стремится к числу 4,669... Это свойство и число Фейгенбаума были обнаружены во многих физических системах на стадии, предшествующей хаосу.

Шум В экспериментах под шумом обычно понимают небольшие случайные возмущения (фон) механического, теплового или электрического происхождения.

Эргодическая теория Раздел гамильтоновой механики, который изучает движения, по свойствам напоминающие случайные, связанных нелинейных систем частиц и эволюцию коллективных свойств системы в целом.

Языки Арнольда Колебания связанных нелинейных осцилляторов при некоторых значениях частот оказываются захваченными некоторым значением ( — целые числа). Области синхронизации в пространстве параметров имеют форму выступов, или языков. Свое название такие языки получили в честь открывшего их советского математика В. И. Арнольда.