1.2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ. КРАТКИЙ ОБЗОР

Этот раздел посвящен краткому обзору классической теории колебаний, как линейных так и нелинейных. Мы намерены лишь дать определения и перечислить некоторые идеи нелинейной динамики, касающиеся периодических колебаний, с тем чтобы позже сопоставить их с хаотическими колебаниями. Читателям, которые хотели бы познакомиться с более подробным обсуждением нелинейных колебаний, следует обратиться к таким книгам, как [180, 135, 148]. Начнем с краткого обзора идей теории линейных колебаний.

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Классическая парадигма теории линейных колебаний — это система из массы и пружины, показанная на рис. 1.5 рядом с ее электрическим аналогом.

Рис. 1.5. а — Классический механический осциллятор с пружиной, массой и демпфером; б — электрическая цепь, свойства которой аналогичны свойствам осциллятора с затуханием.

Если отсутствуют возмущающие силы и трение, то система колеблется с частотой, независимой от амплитуды колебаний:

В таком состоянии энергия попеременно переходит из упругой энергии пружины (электрической энергии конденсатора С) в кинетическую энергию массы (магнитную энергию индуктивности и наоборот. Включение затухания () делает свободные колебания затухающими, так что амплитуда колебаний массы (или заряд в цепи) имеет следующую временную зависимость:

где

Говорят, что затухание докритическое, когда критическое, когда и сверхкритическое, когда

Одно из классических явлений в линейных колебательных системах — резонанс при гармоническом возбуждении. Дифференциальное уравнение, описывающее систему в этих условиях, имеет вид (см., например, [190]):

(1.2.3)

Если при постоянной амплитуде изменять вынуждающую частоту , то абсолютная величина стационарного смещения массы (после затухания переходных возмущений) достигает максимума вблизи естественной частоты а более точно — при Это явление изображено на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Классические резонансные кривые (зависимость амплитуды отклика от частоты) для вынужденного движения линейного осциллятора с затуханием при разных коэффициентах затухания .

Эффект выражен ярче при слабом затухании. В структурированных системах это явление широко распространено, и инженеры хорошо знакомы с проблемой усталостного разрушения конструкций и машин при сильных резонансных колебаниях. Если линейная механическая система имеет много степеней свободы, ее часто моделируют системой связанных осцилляторов из пружин и масс, обнаруживая при гармоническом возбуждении появление множества резонансных частот. Такое поведение часто наталкивало на предположение, что каждый максимум в спектре колебаний соответствует по меньшей мере одной степени свободы. В нелинейных колебательных системах это не так. В отличие от своего линейного аналога, нелинейная система с одной степенью свободы может возбудить много частот, как это показано на рис. 1.3. В любом случае математическая теория линейных систем хорошо разработана и запрограммирована в мощных пакетах математического обеспечения для компьютеров. Другое дело — нелинейные задачи.