ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Я не буду вдаваться в излишние подробности о фрактальных размерностях, поскольку гл. 6 полностью посвящена этой теме.
Скажу только, что основная идея — это оценить степень «странности» хаотического аттрактора. Если взглянуть на отображение Пуанкаре типичного странного аттрактора малой размерности типа изображенного на рис. 4.8, мы увидим множество точек, располо. женных вдоль параллельных линий. Эта структура сохраняется, если увеличить малую область аттрактора. Как упоминалось в гл. 2, такая структура странного аттрактора отличается от картины, характерной для периодических движений (просто конечный набор точек Пуанкаре) или квазипериодических колебаний, когда отображение Пуанкаре представляется замкнутой кривой. Характеризуя такие отображения Пуанкаре, можно сказать, что размерность периодического отображения равна нулю, а размерность квазипериодического отображения — единице. Идея расчета фрактальной размерности заключается в приписывании некоторой размерностнов меры канторовским множествам точек, составляющим странный аттрактор. Если бы эти точки равномерно заполняли некоторую область на плоскости, мы могли бы сказать, что размерность этой области равна двум. Поскольку хаотическое отображение на рис. 4.8 имеет бесконечный набор пустых интервалов, его размер, ность заключена между единицей и двойкой — отсюда и термин «фрактальная», т.е. дробная размерность.
В общем случае множество точек Пуанкаре на странном аттракторе не покрывает подпространство целой размерности (на рис. 4.8 это подпространство — плоскость).
Другим применением фрактальной размерности является оценка наименьшей размерности фазового пространства, в котором можно описать данное движение. Например, для некоторых предтурбулентных конвективных течений в ячейке Рэлея — Бенара (см. рис. 3.1) фрактальную размерность хаотического аттрактора можно найти как некую меру движения 
(см. [123]). Из последовательности 
можно составить псевдофазовые пространства разных размерностей (см. разд. 4.4). Численные расчеты показывают, что фрактальная размерностью 
приближается к асимптотическому значению 
если размерность псевдофазового пространства равна по меньшей мере четырем. Это указывает на то, что приближения низкого порядка в уравнении Навье — Стокса нельзя использовать для моделирования такого движения.
Дальнейшие детали читатель найдет в гл. 6. Возможности вычисления фрактальных размерностей аттракторов, превышающих четыре или пять, вызывают вопросы, но в применении к маломерным хаотическим аттракторам эта методика приобретает все большую популярность у экспериментаторов.
Если эта тенденция продолжится, то, возможно, в будущем можно будет приобрести электронные вычислительные устройства, которые будут автоматически находить фрактальные размерности, подобно тому как это делается сейчас с БПФ.
