СВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ОПРЕДЕЛЕНИЯМИ РАЗМЕРНОСТИ И ПОКАЗАТЕЛЯМИ ЛЯПУНОВА

Итак, мы ввели определения следующих фрактальных размерностей:

емкости (6.1.2),

поточечной размерности (6.2.2),

корреляционной размерности (6.2.5),

информационной размерности (6.2.9).

Грассбергер и Прокачча [47] показали, что информационная размерность и корреляционная размерность ограничивают емкость снизу, т. е.

(6.2.12)

Однако для многих стандартных странных аттракторов все три размерности очень близки (см. табл. 61).

Таблица 6.1. Фрактальные размерности некоторых динамических систем

Те же авторы отметили связь между емкостью, корреляционной функцией и информационной энтропией. В статистической механике и в теории информации можно определить серию мер информационной энтропии, называемых информацией порядка q [48]:

где — вероятность найти точки в множестве N накрывающих кубов. Если — длина ребра накрывающих кубов, то можно определить размерности порядка

При можно связать соответствующую размерность с емкостью, информационной и корреляционной размерностями.

При (полагая и устремляя ) получаем

При

Таким образом, емкостная размерность не учитывает распределения точек между покрывающими множество ячейками, в то время как информационно-энтропийная размерность порядка 1 измеряет вероятность найти точки в ячейке. Наконец, корреляционная размерность учитывает вероятность найти в одной и той же ячейке две точки.

Еще одно соотношение между фрактальной размерностью, информационной энтропией и показателями Ляпунова была установлена Капланом и Йорке [90]. Напомним (см. гл. 5), что показатели Ляпунова характеризуют для траекторий на аттракторе скорость их разбегания друг от друга, а для траекторий вне аттрактора — скорость их приближения к аттрактору (см., например, рис. 5.30). Сказанному можно придать наглядный смысл. Малая сфера начальных условий, описанная вокруг некоторой точки на аттракторе в фазовом пространстве со временем под действием динамического процесса деформируется в эллипсоид.

Например, в случае двумерного хаотического отображения

(6.2.15)

окружность начальных условий (радиуса ) через М итераций деформируется в эллипс с большой и малой полуосями, равными соответственно Величины L, и усредненные по всему дгграктору, называются числами Ляпунова, а величины — показателями Ляпунова.

Каплан и Йорке [90] (см. также работу Фармера и др. [36]) предложили способ вычисления размерности аттрактора по показателям Ляпунова. Для двумерного отображения такая размерность определяется по формуле

Для отображений более высокой размерности в -мерном фазозом пространстве связь между числами Ляпунова и размерностью Ляпунова более сложная. Прежде всего необходимо упорядочить дела Ляпунова, т. е. расположить их в убывающую последовательность

(6.2.17)

I затем найти такое, что

Тогда ляпуновской размерностью по определению называется величина

Каплан и Йорке [90] высказали предположение о том, что является нижней границей для емкостной размерности, т. е. что

(6.2.19)

В качестве примера рассмотрим трехмерное множество точек, порожденное отображением Пуанкаре системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка с диссипацией. Если аттрактор странный, то

Это означает, что олна главная ось эллипсоида начальных условий растягивается, другая остается неизменной, а третья ось сжимается. Кроме того, так как система диссипативная, объем эллипсоида должен быть меньше объема исходной сферы начальных условий, в силу чего . Это заставляет нас выбрать в соотношении , после чего мы получаем

(6.2.20)

Полезность этой формулы для обработки экспериментальных данных пока остается неясной из-за трудности получения числа Ляпунова , характеризующего сжатие (см., например, работу Вулфа и др. [209]).

Сравнение различных определений фрактальной размерности для преобразования пекаря (6.1.6) было произведено Фармером и др. [36]. Преобразование пекаря — одна из немногих динамических систем, для которых свойства хаотической динамики удается вычислить аналитически.

Используя определение Фармер и др. показали, что ля-пуновская размерность (6.2.20) равна информационной размерности (6.2.9) и определяется выражением

где . Если то, как можно показать,

(6.2.22)

Кроме того, если , то и

Мы видим, что а и некоторым образом характеризуют неоднородность отображения. При отображение похоже на подкову или канторовское множество, и все определения размерности совпадают. Из сказанного следует, что различные определения фрактальной размерности, по-видимому, могут приводить к различным результатам, когда динамический процесс приводит к «неоднородному» отображению Пуанкаре.