ДВОЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ

До сих пор мы говорили об отображениях Пуанкаре только для систем третьего порядка, например с одной степенью свободы и внешним возбуждением. Какими же свойствами обладают системы более высокого порядка, движение которых происходит в четырех или пятимерном фазовом пространстве? Примером может служить автономная аэроупругая система с двумя степенями свободы, движение которой описывается в четырехмерном фазовом пространстве или, полагаях, в пространстве Отображение Пуанкаре, полученное заданием одной из переменных состояния, представляется совокупностью точек в трехмерном пространстве. Фрактальные свойства такого отображения — если они присутствуют — могут не проявляться явным образом в трех измерениях и наверняка не будут заметны в проекции этого трехмерного отображения на плоскость вдоль одной из оставшихся переменных.

В нашей лаборатории разработан метод обнаружения фрактальных свойств трехмерных отображений Пуанкаре, который мы называем двойным сечением Пуанкаре (рис. 4.18). Этот метод позволяет выделить в трехмерном отображении слой конечной толщины с тем, чтобы выявить фрактальные свойства аттрактора и тем самым понять, является ли он «странным» (см. [142]).

Поясним этот метод на примере вынужденного движения изогнутого стержня. Для этого рассмотрим систему с двумя возбуждающими воздействиями на несоизмеримых частотах.

Рис. 4.18. Вверху — простое отображение Пуанкаре динамической системы (показано сечение конечной толщины для второго сечения Пуанкаре); внизу — напряжения для построения отображения Пуанкаре осциллятора второго порядка, возбуждаемого двумя гармоническими сигналами.

Соответствующая математическая модель имеет вид

Экспериментальная установка для получения двойного отображения Пуанкаре показана на рис. 4.19. Возбуждающие сигналы создавались одинаковыми генераторами и складывались электронным устройством.

Рис. 4.19. Схема экспериментальной установки для получения отображения Пуанкаре осциллятора с двумя возбуждающими частотами [142] (Elsevier Science Publishers, © 1985). 1 — тензодатчики, 2 — стальной стержень.

Результирующий квазипериодический сигнал затем подавался на усилитель мощности, подключенный к электромагнитному вибростенду.

Первое отображение Пуанкаре генерировалось с помощью запускающего импульса длительностью 1 мкс, синхронизованного с одним из гармонических сигналов. Как видно на рис. 4.20, а, отображение Пуанкаре , полученное с помощью одного триггера, имеет размытый вид без какой-либо структуры. Для получения второго сечения Пуанкаре мы включали регистрирующие устройства синхронно с фазой второго возбуждающего сигнала. Однако если ширина импульса слишком мала, то очень низка вероятность совпадения с точками, выделенными первой последовательностью импульсов. Поэтому мы установили длительность второго импульса в 1000 раз большей, чем первого, т.е. 1 мс. Длительность этого импульса составляет менее 1% периода второго возбуждающего колебания. Значения (х, v) запоминались, только когда первый импульс совпадал со вторым, как показано на рис. 4.18.

(см. скан)

Рис. 4.20 а. Обычное отображение Пуанкаре нелинейного осциллятора с двумя возбуждающими частотами.

(см. скан)

Рис. 4.20 б. Двойное отображение Пуанкаре, которое обнаруживает фрактальную структуру, характерна для странного аттрактора.

Это делалось с помощью цифрового устройства с логическим элементом НЕ-И. Из-за редкости совпадений этих событий на получение отображений из 4000 точек уходило более чем по 10 ч, в то время как для получения обычного отображения Пуанкаре хватало 8—10 мин, если частота возбуждения не превышала 10 Гц.

Экспериментальные результаты, полученные этим методом, приведены на рис. 4.20, где сравниваются простое и двойное отображения Пуанкаре для задачи с двумя возбуждающими частотами. Простое отображение размыто, а двойное сечение выявляет структуру, подобную фрактальной, характерной для странного аттрактора.

Конечно, этот метод можно обобщить на задачи с фазовым пространством с пятью и ббльшим числом измерений. Однако вероятность совпадения трех или более событий будет очень мала, и они будут редки, если только частоты не превышают по порядку величины 1—10 Гц. Такие отображения высоких порядков могут быть полезны в задачах с нелинейными электрическими цепями.

Описанный метод можно использовать и при численном моделировании, как это сделал Лоренц [116] для исследования странного аттрактора в системе обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. С помощью этого метода также изучалась динамика подталкиваемого двойного ротора [94], где он назывался методом «сечения Лоренца» (см. также [95]).