СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Сложные динамические процессы в сферическом маятнике с двумя степенями свободы проанализированы Майлсом [132]. В численных экспериментах им найдены хаотические решения этой задачи, возникающие, когда точка подвеса совершает вынужденные периодические движения (рис. 3.9). Уравнения движения можно получить из лагранжиана, имеющего вид

(3.2.16)

где — длина маятника, а координаты (x,y,z) подчиняются связи

Координата точки подвеса есть а тяготение действует вдоль оси

Майлс использует методы теории возмущений и преобразует полученные уравнения движения с помощью соотношений

(3.2.17)

где . В результате получается следующая система четырех уравнений первого порядка для , в которую добавлено слабое затухание (описываемое коэффициентом а):

где зависят от переменных . Определение этих коэффициентов читатель может найти в [132]. Дивергенция этого потока в четырехмерном фазовом пространстве имеет вид . Точки равновесия системы уравнений (3.2.18) соответствуют периодическим плоским либо пространственным движениям.

Численное решение этой системы уравнений обнаруживает переход от замкнутых орбит и дискретных спектров к сложным орбитам и широким спектрам, характерным для хаотического движения.