КАНТОРОВСКОЕ МНОЖЕСТВО

Канторовское множество было названо в честь Георга Кантора (1845—1918), открывшего его в 1883 г. Это понятие играет очень важную роль в современной нелинейной динамике. Построение кривой Кох можно рассматривать как процесс добавления к первоначальному отрезку все более мелких деталей (отрезков). Построение канторовского множества сводится к дополнительной операции — выбрасыванию из первоначального отрезка все более мелких отрезков.

Построение, как и в предыдущем примере, начинается с отрезка длины 1, который подразделяется на 3 равные части (рис. 6.2). Однако вместо того, чтобы добавлять 2 новых подотрезка, как в кривой Кох, необходимо отбросить среднюю часть, после чего число отрезков возрастает до 2, а полная длина их понизится до 2/3. Затем процесс повторяется на каждом из оставшихся отрезков и т. д. На каждом этапе отбрасывание средней трети удваивает число отрезков, но уменьшает обшую длину отрезков до 2/3 ее величины перед отбрасыванием. В пределе полная длина канторовского множества стремится к нулю, хотя его размерность, как мы увидим ниже, заключена между 0 и 1.

Рис. 6.2. Сверху вниз: последовательные этапы построения канторовского множества.

Рис. 6.3. Функция «чертова лестница».