ПУТИ К ХАОСУ

От периодических движений к хаотическим через изменение параметров. Ставя любой из упомянутых тестов на хаотические колебания, следует попытаться изменить один или большее число параметров, определяющих состояние системы. Например, в случае изогнутой структуры (см. рис. 2.2) можно менять амплитуду вынуждающей силы или ее частоту, а в нелинейной цепи можно варьировать сопротивление. Цель этой процедуры — выяснить, не обнаруживает ли система стационарного или периодического поведения в некоторой области пространства параметров. Таким образом, можно убедиться, что система действительно детерминированная и не содержит скрытых внешних или внутренних источников истинно случайного шума.

Меняя параметр, надо следить за появлением периодического отклика. Одним из характерных предвестников хаотического движения является появление субгармонических периодических колебаний. Вообще говоря, предхаотическое состояние может принимать самые разные формы. Как численные, так и физические эксперименты обнаруживают несколько моделей предхаотического поведения (см., например, [42, 89]).

Путь к хаосу через удвоение периода. Когда наблюдается явление удвоения периода, в начальном состоянии система совершает основное периодическое движение. Затем, по мере изменения какого-либо параметра эксперимента — назовем его — происходит бифуркация или изменение движения на периодическое с периодом, в два раза превышающим период исходных колебаний. С дальнейшим изменением система подвержена последовательным бифуркациям, при каждой из которых период удваивается. Замечательное свойство этого процесса в том, что критические значения , при которых происходят последовательные удвоения периода, подчиняются при следующему автомодельному соотношению (см. также гл. 1):

(2.11)

(Число называется числом Фейгенбаума — по имени физика, который обнаружил это автомодельное поведение.) На практике это отношение сходится к 6, уже при третьей или четвертой бифуркации.

Процесс удвоения периода имеет точку сгушения вблизи некоторого критического значения параметра, после которого движение становится хаотическим.

Это явление наблюдалось в ряде физических систем, а также при численном моделировании. Простейшее математическое уравнение, с помощью которого можно пояснить такое поведение, — это одномерное разностное уравнение (см. гл. 1)

Когда параметр системы становится больше критического значения, в определенных диапазонах значений параметра движение становится хаотическим. Однако такие диапазоны могут иметь конечную ширину; другими словами, при изменении параметра могут встречаться окна периодического движения. В этом режиме периодические движения могут вновь проходить через бифуркации удвоения периода, вновь приводя к хаотическому движению (см. разд. 5.3).

Модель появления хаоса через удвоение периода элегантна и изящна, и ее не раз описывали в популярных статьях. Однако, хотя многие физические системы обнаруживают свойства, подобные свойствам отображения (2.12), многие системы ведут себя по-другому. Тем не менее, если вы подозреваете, что в системе присутствуют хаотические колебания, стоит проверить, не происходят ли в ней удвоения периода.

Бифуркационные диаграммы. Широко используемым способом исследования предхаотических или послехаотических изменений динамической системы при вариации ее параметров является построение бифуркационных диаграмм (пример которой показан на рис. 2.16). На таких диаграммах некоторая мера движения (например, максимальная амплитуда) откладывается как функция какого-либо параметра системы, например амплитуды вынуждающей силы или коэффициента затухания. Если выборка данных сделана с помощью отображения Пуанкаре, то без труда выделяются удвоения периода и субгармонические бифуркации, что иллюстрируют экспериментальные данные для нелинейной цепи, приведенные в статьях Брайанта и Джеффриса [17, 18], сотрудников Калифорнийского университета в Беркли (см. также рис. 2.16). Однако разрывы бифуркационных диаграмм могут означать возникновение квазипериодического либо хаотического движения, и для точной классификации динамического режима необходимы дальнейшие тесты.

Рис. 2.16. Полученная в эксперименте бифуркационная диаграмма для периодически возбуждаемой нелинейной цепи с -переходом: зависимость тока от напряжения возбуждающего сигнала, построенная по периодической выборке измерений (202) (The American Physical Society, © 1985).

Квазипериодический путь к хаосу. Хотя удвоение периода — самый знаменитый путь к хаотическим колебаниям, обнаружено и изучено еще несколько схем. В одной из них, предложенной Ньюхаузом и др. [150], авторы рассматривают систему, которая, прежде чем перейти в хаотическое состояние, испытывает последовательные динамические неустойчивости. Пусть, например, система сначала находится в стационарном состоянии, но после изменения какого-нибудь параметра становится динамически неустойчивой (например, аэродинамические колебания — флаттер). С раскачкой движений вступают в действие нелинейности, и движение выходит на предельный цикл. Такие переходы математики называют бифуркациями Хопфа (см., например, [1]). Если при дальнейших изменениях параметра в системе происходят две или более бифуркации Хопфа, так что одновременно присутствуют три связанных предельных цикла, то становится возможным хаотическое движение.

Итак, предвестником таких хаотических движений является присутствие двух одновременных периодических колебаний.

Рис. 2.17. Схематическое изображение движения пары связанных осцилляторов и плоскость Пуанкаре, которая позволяет проследить кваэипериодический путь к хаосу.

Когда частоты этих колебаний несоизмеримы, наблюдаемое движение само по себе непериодично, его называют квазипериодическим (см. (2.4)). Как обсуждалось выше, отображение Пуанкаре квазипериодического движения представляется замкнутой кривой на фазовой плоскости (рис. 2.17). Такие движения можно представить происходящими на поверхности тора, а отображение Пуанкаре образуется пересечением тора плоскостью (см. рис. 2.17). Если несоизмеримы, то траектории полностью покрывают поверхность тора. Если же — рациональное число, то траектория в конце концов замкнется на торе, хотя до этого она может сделать много оборотов по обеим угловым координатам. В этом случае отображение Пуанкаре распадается на набор точек, в общем выстраивающихся вдоль окружности. В такой системе хаотические движения часто характеризуются разрушением квазипериодической тороидальной структуры при изменении параметра системы (рис. 2.18).

Признаки такого трехчастотного перехода к хаосу наблюдались в течении между двумя вращающимися цилиндрами (течении Тейлора — Куэтта), в котором с изменением скорости вращения появляются вихри.

Рис. 2.18. а — Отображение Пуанкаре для квазипериодического движения в тепловой конвекции Рэлея — Бенара при отношении частот, близком к ; б — разрушение тороидальной поверхности перед появлением хаоса [9].

Рис. 2.19. Свидетельства перехода к хаосу через трехчастотный режим в течеиим между вращающимися цилиндрами (течение Тейлора — Куэтта); разность угловых скоростей вращения возрастает сверху вниз [183].

На рис. 2.19 показаны три спектра Фурье, полученные в одном из таких экспериментов. На верхнем рисунке, несомненно, присутствует одно периодическое движение, а на среднем заметны уже два основных движения. На нижнем рисунке видны следы увеличившегося широкополосного шума, характерного для хаотического поведения.

Перемежаемость. На третьем пути к хаосу длительные интервалы периодического движения перемежаются со вспышками хаоса. Эта схема называется перемежаемостью. По мере изменения параметра вспышки хаоса становятся все более частыми и длительными (см., например, [125]). Сообщалось об указаниях на эту модель предхаотического состояния в экспериментах с конвекцией в ячейке (замкнутом прямоугольном объеме) с градиентом температуры (на зываемой конвекцией Рэлея — Бенара) (см. рис. 2.20).

Рис. 2.20. Вил эволюции при хаосе перемежаемого типа.

Как предсказывают некоторые модели перемежаемости, средняя длительность хаотичной или турбулентной фазы движения определенным образом меняется с изменением некоторого параметра системы; например, эта зависимость может иметь вид

где — значение, при котором периодическое движение становится хаотическим.

Следует заметить, что в некоторых физических системах при разных значениях параметров можно наблюдать все три типа предхаотических колебаний и даже больше. Преимущество отождествления конкретной структуры предхаотического движения с одной из этих «классических» моделей заключается в том, что каждая из них подробно исследована математически, а это может помочь лучше понять изучаемое хаотическое физическое явление.