Главная > Хаотические колебания
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ: КРИТЕРИЙ ФРАКТАЛЬНОСТИ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ

Наша книга посвящена в основном хаотической динамике, но, как следует из предыдущего раздела, некоторые характерные особенности хаотической динамики, а именно чувствительность к изменениям параметров и непредсказуемость поведения, иногда могут быть присуши и нехаотическим движениям.

Такая перспектива повергает в ужас инженеров, занимающихся численным моделированием нелинейных систем на компьютерах. Их чувства вполне понятны: в подобного рода системах конечный результат вычислений может оказаться чувствительным к малым изменениям переменных, таких, как начальные данные, управляющие параметры ошибки округления и выбор шага по времени в численном алгоритме. Такого рода отсутствие «жесткости» может встречаться в том случае, когда речь идет о переходном или периодическом режиме на выходе системы.

Для численного анализа весьма важно располагать критерием, позволяющим распознавать, обладает ли данная конкретная нелинейная система чувствительностью к небольшим вариациям параметров или не обладает. Пока нет общего критерия предсказуемости в нелинейной динамике, но, как показывает динамика в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами, кое-какие соображения уже имеются.

Во-первых, мы ожидаем, что системы, наиболее восприимчивые к поведению фрактальной границы области притяжения, обладают неоднозначностью конечных режимов: у них существует несколько состояний равновесия или периодических движений. Например, в задачах об ударе упруго-пластической арки (см. [155, 184]) или о периодическом воздействии на ротор или маятник существуют по крайней мере два возможных конечных режима. В случае арки упруго-пластическая балка в конечном состоянии может быть обращена выпуклостью вверх или вниз. В случае ротора вращение может происходить как по часовой стрелке, так и против нее.

Второе соображение относительно возможности существования фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было показано, что нелинейные системы, определенным образом растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным и допускают множество субгармонических решений. Как было показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы, возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельникова (см. уравнение (5.3.20)), предложил критерий (см. [57]). В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами этот критерий служит очень надежным признаком существования фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, когда движение не хаотично.

Рис. 6.26. Критерий гомоклинической траектории (5.3.28) для задачи о движении частицы в потенциале с двумя ямами при фракталоподобной и гладкой границе области притяжения. По данным численных экспериментов [144] (The American Physical Society, © 1985).

Для уравнения движения (6.5.2) этот критерий сводится к соотношению

Данные, подтверждающие правильность критерия (6.5.3), приведены на рис. 6.26 (см., например, работу Муна и Ли [144]). Они включают в себя результаты многих расчетов границ областей притяжения, аналогичных представленным на рис. 6.23-6.25. Ниже кривой, соответствующей критерию Холмса—Мельникова, найденные численными методами границы областей представления гладкие, выше — фрактальные (по крайней мере, если судить по внешнему виду).

Связь между гомоклиническими траекториями и фрактальными границами областей притяжения не столь загадочна, в особенности если взглянуть на рис. 6.27. На этом рисунке мы наложили друг на друга результаты двух вычислений. Во-первых, вычислили границу областей притяжения для движения в потенциале с двумя ямами, когда амплитуда вынуждающей силы чуть ниже кривой Холмса—Мельникова. Сравнив полученную границу с изображенной на рис. 6.23 (которая соответствует меньшей вынуждающей силе), мы обнаружили, что на границе образовался длинный выступ («палец»).

Рис. 6.27. Области притяжения в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами с наложенными на них устойчивым и неустойчивым многообразиями в сечении Пуанкаре при критической амплитуде вынуждающей силы (5.3.28) [144] (The American Physical Society, © 1985).

Во-вторых, вычислили и нанесли на рис. 6.27 устойчивые я неустойчивые многообразия, выходящие из седловой точки вблизи начала координат. Первое, что бросается в глаза, — это совпадение границы области притяжения с устойчивым многообразием отображения Пуанкаре. Второе, что привлекает внимание, — неустойчивые многообразия, показанные штриховыми линиями, только касаются устойчивых многообразий. Этого следовало ожидать, так как, согласно критерию, устойчивое и неустойчивое многообразия касаются и порождают гомоклинические точки. По теории, выходящей за рамки критерия Холмса—Мельникова, устойчивое и неустойчивое многообразия должны касаться отображения Пуанкаре бесконечно много раз, что приводит к бесконечно многим складкам устойчивого многообразия, а тем самым и к бесконечно многим складкам границы области притяжения и, как следствие, — к фрактальным свойствам. Эти результаты пока еще не получили подтверждения для других, систем, но такого рода идеи находятся сейчас в стадии проверки (см., например, работу Макдональда и др. [119]).

Резюмируя, мы можем утверждать, что, судя по некоторым до статочно веским соображениям, для многих динамических систем множественность решений и существование гомоклиническнх траекторий или свойств, аналогичных свойствам отображения типа под. ковы, могут служить критерием фрактальности границ областей притяжения и предсказуемости поведения нелинейных систем.

1
Оглавление
email@scask.ru