Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ: КРИТЕРИЙ ФРАКТАЛЬНОСТИ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯНаша книга посвящена в основном хаотической динамике, но, как следует из предыдущего раздела, некоторые характерные особенности хаотической динамики, а именно чувствительность к изменениям параметров и непредсказуемость поведения, иногда могут быть присуши и нехаотическим движениям. Такая перспектива повергает в ужас инженеров, занимающихся численным моделированием нелинейных систем на компьютерах. Их чувства вполне понятны: в подобного рода системах конечный результат вычислений может оказаться чувствительным к малым изменениям переменных, таких, как начальные данные, управляющие параметры ошибки округления и выбор шага по времени в численном алгоритме. Такого рода отсутствие «жесткости» может встречаться в том случае, когда речь идет о переходном или периодическом режиме на выходе системы. Для численного анализа весьма важно располагать критерием, позволяющим распознавать, обладает ли данная конкретная нелинейная система чувствительностью к небольшим вариациям параметров или не обладает. Пока нет общего критерия предсказуемости в нелинейной динамике, но, как показывает динамика в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами, кое-какие соображения уже имеются. Во-первых, мы ожидаем, что системы, наиболее восприимчивые к поведению фрактальной границы области притяжения, обладают неоднозначностью конечных режимов: у них существует несколько состояний равновесия или периодических движений. Например, в задачах об ударе упруго-пластической арки (см. [155, 184]) или о периодическом воздействии на ротор или маятник существуют по крайней мере два возможных конечных режима. В случае арки упруго-пластическая балка в конечном состоянии может быть обращена выпуклостью вверх или вниз. В случае ротора вращение может происходить как по часовой стрелке, так и против нее. Второе соображение относительно возможности существования фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было показано, что нелинейные системы, определенным образом растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным и допускают множество субгармонических решений. Как было показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы, возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельникова (см. уравнение (5.3.20)), предложил критерий (см. [57]). В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами этот критерий служит очень надежным признаком существования фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, когда движение не хаотично.
Рис. 6.26. Критерий гомоклинической траектории (5.3.28) для задачи о движении частицы в потенциале с двумя ямами при фракталоподобной и гладкой границе области притяжения. По данным численных экспериментов [144] (The American Physical Society, © 1985). Для уравнения движения (6.5.2) этот критерий сводится к соотношению
Данные, подтверждающие правильность критерия (6.5.3), приведены на рис. 6.26 (см., например, работу Муна и Ли [144]). Они включают в себя результаты многих расчетов границ областей притяжения, аналогичных представленным на рис. 6.23-6.25. Ниже кривой, соответствующей критерию Холмса—Мельникова, найденные численными методами границы областей представления гладкие, выше — фрактальные (по крайней мере, если судить по внешнему виду). Связь между гомоклиническими траекториями и фрактальными границами областей притяжения не столь загадочна, в особенности если взглянуть на рис. 6.27. На этом рисунке мы наложили друг на друга результаты двух вычислений. Во-первых, вычислили границу областей притяжения для движения в потенциале с двумя ямами, когда амплитуда вынуждающей силы чуть ниже кривой Холмса—Мельникова. Сравнив полученную границу с изображенной на рис. 6.23 (которая соответствует меньшей вынуждающей силе), мы обнаружили, что на границе образовался длинный выступ («палец»).
Рис. 6.27. Области притяжения в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами с наложенными на них устойчивым и неустойчивым многообразиями в сечении Пуанкаре при критической амплитуде вынуждающей силы (5.3.28) [144] (The American Physical Society, © 1985). Во-вторых, вычислили и нанесли на рис. 6.27 устойчивые я неустойчивые многообразия, выходящие из седловой точки вблизи начала координат. Первое, что бросается в глаза, — это совпадение границы области притяжения с устойчивым многообразием отображения Пуанкаре. Второе, что привлекает внимание, — неустойчивые многообразия, показанные штриховыми линиями, только касаются устойчивых многообразий. Этого следовало ожидать, так как, согласно критерию, устойчивое и неустойчивое многообразия касаются и порождают гомоклинические точки. По теории, выходящей за рамки критерия Холмса—Мельникова, устойчивое и неустойчивое многообразия должны касаться отображения Пуанкаре бесконечно много раз, что приводит к бесконечно многим складкам устойчивого многообразия, а тем самым и к бесконечно многим складкам границы области притяжения и, как следствие, — к фрактальным свойствам. Эти результаты пока еще не получили подтверждения для других, систем, но такого рода идеи находятся сейчас в стадии проверки (см., например, работу Макдональда и др. [119]). Резюмируя, мы можем утверждать, что, судя по некоторым до статочно веским соображениям, для многих динамических систем множественность решений и существование гомоклиническнх траекторий или свойств, аналогичных свойствам отображения типа под. ковы, могут служить критерием фрактальности границ областей притяжения и предсказуемости поведения нелинейных систем.
|
1 |
Оглавление
|