ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ: КРИТЕРИЙ ФРАКТАЛЬНОСТИ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ

Наша книга посвящена в основном хаотической динамике, но, как следует из предыдущего раздела, некоторые характерные особенности хаотической динамики, а именно чувствительность к изменениям параметров и непредсказуемость поведения, иногда могут быть присуши и нехаотическим движениям.

Такая перспектива повергает в ужас инженеров, занимающихся численным моделированием нелинейных систем на компьютерах. Их чувства вполне понятны: в подобного рода системах конечный результат вычислений может оказаться чувствительным к малым изменениям переменных, таких, как начальные данные, управляющие параметры ошибки округления и выбор шага по времени в численном алгоритме. Такого рода отсутствие «жесткости» может встречаться в том случае, когда речь идет о переходном или периодическом режиме на выходе системы.

Для численного анализа весьма важно располагать критерием, позволяющим распознавать, обладает ли данная конкретная нелинейная система чувствительностью к небольшим вариациям параметров или не обладает. Пока нет общего критерия предсказуемости в нелинейной динамике, но, как показывает динамика в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами, кое-какие соображения уже имеются.

Во-первых, мы ожидаем, что системы, наиболее восприимчивые к поведению фрактальной границы области притяжения, обладают неоднозначностью конечных режимов: у них существует несколько состояний равновесия или периодических движений. Например, в задачах об ударе упруго-пластической арки (см. [155, 184]) или о периодическом воздействии на ротор или маятник существуют по крайней мере два возможных конечных режима. В случае арки упруго-пластическая балка в конечном состоянии может быть обращена выпуклостью вверх или вниз. В случае ротора вращение может происходить как по часовой стрелке, так и против нее.

Второе соображение относительно возможности существования фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было показано, что нелинейные системы, определенным образом растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным и допускают множество субгармонических решений. Как было показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы, возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельникова (см. уравнение (5.3.20)), предложил критерий (см. [57]). В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами этот критерий служит очень надежным признаком существования фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, когда движение не хаотично.

Рис. 6.26. Критерий гомоклинической траектории (5.3.28) для задачи о движении частицы в потенциале с двумя ямами при фракталоподобной и гладкой границе области притяжения. По данным численных экспериментов [144] (The American Physical Society, © 1985).

Для уравнения движения (6.5.2) этот критерий сводится к соотношению

Данные, подтверждающие правильность критерия (6.5.3), приведены на рис. 6.26 (см., например, работу Муна и Ли [144]). Они включают в себя результаты многих расчетов границ областей притяжения, аналогичных представленным на рис. 6.23-6.25. Ниже кривой, соответствующей критерию Холмса—Мельникова, найденные численными методами границы областей представления гладкие, выше — фрактальные (по крайней мере, если судить по внешнему виду).

Связь между гомоклиническими траекториями и фрактальными границами областей притяжения не столь загадочна, в особенности если взглянуть на рис. 6.27. На этом рисунке мы наложили друг на друга результаты двух вычислений. Во-первых, вычислили границу областей притяжения для движения в потенциале с двумя ямами, когда амплитуда вынуждающей силы чуть ниже кривой Холмса—Мельникова. Сравнив полученную границу с изображенной на рис. 6.23 (которая соответствует меньшей вынуждающей силе), мы обнаружили, что на границе образовался длинный выступ («палец»).

Рис. 6.27. Области притяжения в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами с наложенными на них устойчивым и неустойчивым многообразиями в сечении Пуанкаре при критической амплитуде вынуждающей силы (5.3.28) [144] (The American Physical Society, © 1985).

Во-вторых, вычислили и нанесли на рис. 6.27 устойчивые я неустойчивые многообразия, выходящие из седловой точки вблизи начала координат. Первое, что бросается в глаза, — это совпадение границы области притяжения с устойчивым многообразием отображения Пуанкаре. Второе, что привлекает внимание, — неустойчивые многообразия, показанные штриховыми линиями, только касаются устойчивых многообразий. Этого следовало ожидать, так как, согласно критерию, устойчивое и неустойчивое многообразия касаются и порождают гомоклинические точки. По теории, выходящей за рамки критерия Холмса—Мельникова, устойчивое и неустойчивое многообразия должны касаться отображения Пуанкаре бесконечно много раз, что приводит к бесконечно многим складкам устойчивого многообразия, а тем самым и к бесконечно многим складкам границы области притяжения и, как следствие, — к фрактальным свойствам. Эти результаты пока еще не получили подтверждения для других, систем, но такого рода идеи находятся сейчас в стадии проверки (см., например, работу Макдональда и др. [119]).

Резюмируя, мы можем утверждать, что, судя по некоторым до статочно веским соображениям, для многих динамических систем множественность решений и существование гомоклиническнх траекторий или свойств, аналогичных свойствам отображения типа под. ковы, могут служить критерием фрактальности границ областей притяжения и предсказуемости поведения нелинейных систем.