ВЕРОЯТНОСТНЫЕ, ИЛИ ИНВАРИАНТНЫЕ, РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если нелинейная динамическая система находится в хаотическом состоянии, становится невозможным точное предсказание ее временной эволюции, поскольку малые неопределенности в начальных условиях оборачиваются сильным расхождением орбит в фазовом пространстве. Если присутствует затухание, то мы знаем, что хаотическая орбита лежит где-то на странном аттракторе. Когда отсутствует точное знание положения орбиты, повышается интерес к нахождению вероятности пребывания орбиты в определенной части аттрактора. Напрашивается мысль определить в фазовом пространстве плотность вероятности как статистическую меру хаотической динамики. Имеются некоторые математические и экспериментальные указания на то, что такое распределение вероятности существует и что оно не меняется со временем.
Чтобы получить эту функцию распределения, надо создать временную выборку измерений движения, которая достаточно велика, чтобы считать, что хаотическая траектория уже прошла через большую часть аттрактора.
Этот минимальный размер выборку можно оценить, наблюдая за отображением Пуанкаре и убеждаясь, что аттрактор уже сформировался, а точки отображения заполнили все его части. Затем фазовое пространство разбивается на ячейки в с помощью компьютера подсчитывается число точек-измерений в каждой ячейке.
Рис. 4.22. Найденные в эксперименте функции распределения вероятностей при хаотических колебаниях изогнутого стержня, усредненные по интервалу времени в несколько тысяч периодов возбуждающего сигнала. Вверху — распределение скоростей конца стержня; внизу — распределение положений конца стержня.
На рис. 4.22 показан пример распределения плотности вероятности для хаотических колебаний изогнутого стержня. Здесь мы построили проекции этого распределения на оси смешения и скорости.
Распределение скоростей имеет форму, подобную классической гауссовской колоколообразной кривой (рис. 4.22, а). Распределение смешений, напротив, обнаруживает два максимума вблизи двух потенциальных ям (рис. 4.22, б). Это распределение подобно характерному для случайно возбуждаемого осциллятора с двумя потенциальными ямами [176]. Это указывает на вероятную возможность расчета распределений плотности вероятности для детерминированных хаотических систем методами теории случайных колебаний.
Распределения вероятностей играют в описании хаотических колебаний столь же полезную роль, что и для случайных колебаний (см., например, [176] или [112]). Если удалось определить распределение вероятностей хаотической системы, то можно найти среднеквадратичную амплитуду, среднее время между пересечениями нуля я вероятности того, что смещение, электрическое или механическое напряжение превысят некое критическое значение. Однако в этой области многое еще предстоит сделать как с математической, так и с экспериментальной стороны.
Вероятностные методы анализа хаотических колебаний разрабатывали 
и его сотрудники из Калифорнийского университета в Беркли [83-85, 96] (автор последней работы сейчас работает в Штуттгарте). Этот метод, предполагающий деление фазового пространства на множество ячеек, использует некоторые идеи теории марковских процессов. Вероятностные методы, повидимому, окажутся к месту в наступающем веке суперкомпьютеров, и их популярность может стать шире, если реализовать их в схеме параллельных численных расчетов.
