КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Этот вариант фрактальной размерности успешно использовали экспериментаторы (например, Мальрезон и др. [123], Суинни [182], Чилиберто и Голлуб [22], Мун и Ли [143]). Между поточечной размерностью и корреляционной размерностью существует определенная связь. Обширное исследование этого варианта размерности было проведено Грассбергером и Прокачча [47].

Как и при определении поточечной размерности, непрерывная траектория дискретизируется — заменяется множеством из N точек в фазовом пространстве. (Можно также создать псевдофазовое пространство; см. гл. 4 и следующий раздел). Затем вычисляют расстояния между парами точек используя либо обычную евклидову меру расстояния (квадратный корень из суммы квадратов компонент), либо какую-нибудь эквивалентную меру (например, сумму абсолютных величин компонент вектора). Корреляционная функция определяется как

Для многих аттракторов эта функция зависит от при по степенному закону, т. е.

поэтому фрактальную, или корреляционную, размерность можно определить по наклону прямой на графике

(6.2.5)

Выяснилось, однако, что можно вычислить более эффективно, описав в фазовом пространстве сферу (или куб) вокруг каждой точки и подсчитав число точек в каждой сфере, т. е.

(6.2.6)

где при при . Эта величина отличается от поточечной размерности тем, что суммирование проводится вокруг каждой точки.