ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ХАОСУ

В этой книге мы придерживались эмпирического подхода к хаотическим колебаниям и изложили целую серию различных физических явлений, в которых хаотическая динамика играет важную роль. Разумеется, не все читатели имеют доступ к лаборатории или обладают склонностью к экспериментированию, хотя большинство из них могут воспользоваться цифровыми компьютерами. Учитывая это, мы приводим в настоящем приложении ряд численных экспериментов, осуществимых либо на персональном компьютере, либо на микрокомпьютере, в надежде, что они помогут читателю исследовать динамику ставших ныне классическими моделей хаоса.

Б.1. ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ: УДВОЕНИЕ ПЕРИОДА

Одной из простейших задач, с которой следовало бы начинать знакомство с новой динамикой, должно быть, является модель роста популяции, или логистическое уравнение

Явления, связанные с удвоением периода, наблюдались различными исследователями (см., например, работу Мэя [130]) и, разумеется, Фейгенбаумом [37], который открыл знаменитые законы подобия параметров (см. гл. 1 и 5). Персональный компьютер позволяет необычайно легко воспроизвести два численных эксперимента.

В первом эксперименте мы имеем график зависимости от в диапазоне . Режим удвоения периода наблюдается при значениях ниже Начав с вы сможете увидеть траекторию с периодом 1. Чтобы увидеть более длинные траектории, пометьте первые 30—50 итераций точками, а последующие итерации — другим символом.

Разумеется, построив график зависимости от , вы сможете наблюдать переходные и стационарные режимы. Хаотические траектории можно обнаружить при . В окрестности можно обнаружить траекторию с периодом 3 [130].

Следующий численный эксперимент связан с построением бифуркационной диаграммы. Для этого следует построить график зависимости при больших от управляющего параметра. Выберите какое-нибудь начальное условие (например, и проделайте 100 итераций отображения. Затем отложите значения полученные в результате следующих 50 итераций по вертикальной оси, а соответствующее значение по горизонтальной оси (или наоборот). Шаг по выберите около 0,01 и пройдите диапазон На диаграмме в точках удвоения периода должны получиться классические бифуркации типа вил. Можете ли вы по данным численного эксперимента определить число Фейгенбаума?

Мэй [130] приводит также перечень численных экспериментов с другими одномерными отображениями, например с отображением

Он описывает это отображение как модель роста популяции одного вида, регулируемого эпидемической болезнью. Исследуйте область . Точка накопления удвоений периода и начало хаоса соответствуют [130]. В статье Мэя содержатся также данные по некоторым другим численным экспериментам.

Б.2. УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА

Замечательный численный эксперимент, несомненно, заслуживающий повторения, содержится в оригинальной работе Лоренца [115]. Лоренц упростил уравнения, выведенные Зальцманом [167] на основе уравнений тепловой конвекции в жидкости (см. гл. 3). Приоритет в открытии непериодических решений уравнений конвекции, по признанию Лоренца, принадлежит Зальцману. Для исследования хаотических движений Лоренц выбрал ставшие ныне классическими значения параметров в уравнениях

Данные, приведенные на рис. 1 и 2 статьи Лоренца [115], можно воспроизвести, выбрав начальные условия и шаг по времени и спроектировав решение либо на плоскость либо на плоскость

Чтобы получить одномерное отображение, индуцируемое этим потоком, Лоренц рассмотрел последовательные максимумы переменной z, которые он обозначил График зависимости от показал, что в данном случае отображение задается кривой, напоминающей по форме крышу домика. Затем Лоренц исследовал упрощенный вариант этого отображения, получившего название «отображение типа домика», — билинейную разновидность логистического уравнения

Б.3. ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ И УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА

С наглядным примером перемежаемости можно познакомиться, численно интегрируя с помощью компьютера уравнения Лоренца:

с параметрами по методу Рунге—Кутта. При вы получите периодическую траекторию , но при и больше появятся «всплески», или хаотические шумы (см. работу Манневиля и Помо [125]). Измеряя среднее число N периодических циклов между всплесками (ламинарная фаза), вы должны получить закон подобия

где .

Б.4. АТТРАКТОР ЭНОНА

Обобщение квадратичного отображения на прямой для двумерного случая (на плоскости) было предложено французским астрономом Эноном:

При отображение Энона сводится к логистическому отображению, исследованному Мэем и Фейгенбаумом. К значениям а и b, при которых возникает странный аттрактор, относятся, в частности, . Постройте график этого отображения на плоскости ограничив его прямоугольником . Получив аттрактор, сосредоточьте свое внимание на каком-нибудь малом его участке и увеличьте этот участок с помощью преобразования подобия. Проследите за существенно большим числом итераций отображений и попытайтесь выявить мелкомасштабную фрактальную структуру. Если у вас хватит терпения или у вас под рукой окажется быстродействующий компьютер, то произведите еще одно преобразование подобия и повторите все сначала для еще меньшего участка аттрактора (см. рис. 1.20, 1.22).

Если у вас имеется программа для вычисления показателей Ляпунова, то полезно иметь в виду, что в литературе приводится значение показателя Ляпунова , а фрактальная размерность аттрактора в отображении Энона равна . Варьируя параметры а и b, можно попытаться определить область тех значений, при которых аттрактор существует, и найти область удвоения периода на плоскости (а, b) [57, с. 268; 151].

Б.5. УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА: АТТРАКТОР УЭДЫ

Эта модель электрической цепи с нелинейной индуктивностью была рассмотрена в гл. 3. Уравнения этой модели, записанные в виде системы уравнений первого порядка, имеют вид

Хаотические колебания в этой модели были весьма подробно исследованы Уэдой [197]. Воспользуйтесь каким-нибудь стандартным алгоритмом численного интегрирования, например схемой Рунге—Кутта четвертого порядка, и рассмотрите случай . При у вас должна получиться периодическая траектория с периодом 3. (Сечение Пуанкаре проводите при ) В окрестности значения траектория с периодом 3 должна после бифуркации переходить в хаотическое движение.

При периодичность снова восстанавливается с переходным хаотическим режимом (см. рис. 3.13).

Сравните фрактальную природу аттрактора при убывании затухания, полагая и 0,05. Обратите внимание, что при остается только небольшая часть аттрактора, а при движение становится периодическим.

Б.6. УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА С ДВУМЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ЯМАМИ: АТТРАКТОР ХОЛМСА

Этот пример был рассмотрен в нашей книге. Несколько численных экспериментов заслуживают того, чтобы их повторить. Безразмерные уравнения имеют в этом случае вид

(Полагая и вводя дополнительное уравнение z = w, их можно записать в виде автономной системы третьего порядка.) Множитель 1/2 делает собственную частоту малых колебаний в каждой потенциальной яме равной единице. Критерий хаоса при фиксированном коэффициенте затухания и переменных был рассмотрен нами в гл. 5. Областью, представляющей интерес для исследования, является . В этой области должен наблюдаться переход от периодического режима к хаотическому, периодические окна в хаотическом режиме и выход из хаотического режима при . Имеется и другая интересная область: Во всех исследованиях мы настоятельно рекомендуем читателю пользоваться отображением Пуанкаре. При использовании персонального компьютера высокой скорости обработки информации можно достичь за счет специальных ухищрений при составлении программы (см. рис. 5.3).

Еще один интересный численный эксперимент состоит в том, чтобы зафиксировать параметры, например положить и варьировать фазу отображения Пуанкаре, т. е. наносить точки при изменяя от 0 до Обратите внимание на обращение отображения при Связано ли это с симметрией уравнения? (См. рис. 4.8.)

Б.7. КУБИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (ХОЛМСА)

Многие понятия теории хаотических колебаний мы проиллюстрировали на примере аттрактора в модели с двумя потенциальными ямами. Динамика такой модели описывается обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка (см. гл.

2 и 3), но явная формула для отображения Пуанкаре такого аттрактора неизвестна. Холмс [73] предложил двумерное кубическое отображение, которое обладает некоторыми свойствами осциллятора Дуффинга с отрицательной жесткостью:

Хаотический аттрактор может быть найден вблизи значений параметров

Б.8. ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЫГАЮЩЕГО ШАРИКА (СТАНДАРТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ)

(См. статью Холмса [75] и книгу Лихтенберга и Либермана [110].) Как отмечалось в гл. 3, отображение Пуанкаре для шарика» прыгающего на вибрирующем столе, может быть точно записано в терминах безразмерной скорости соударения шарика о стол и фазы движения стола

где — потеря энергии при соударении.

Случай (консервативный хаос). Этот случай исследован в книге Лихтенберга и Либермана [110] как модель ускорения электронов в электромагнитных полях. Проитерировав отображение, нанесите полученные точки на плоскость Для вычисления воспользуйтесь выражением

в усовершенствованном варианте Бейсика. Чтобы добиться хорошей картины, вам придется варьировать начальные условия. Например, выберите и проследите за несколькими сотнями итераций отображения при различных v из интервала —

Интересные случаи вы обнаружите при . При можно наблюдать квазипериодические замкнутые траектории вокруг периодических неподвижных точек отображения. При должны появиться области консервативного хаоса вблизи точек сепаратрис (см. рис. 5.21).

Случай . Этот случай соответствует диссипативному отображению, когда энергия теряется при каждом соударении шарика и стола. Начните с . Обратите внимание на то, что, хотя первые итерации выглядят хаотическими, как в случае 1, движение выходит на периодический режим. Чтобы получить фракталоподобный хаос, значения К необходимо повысить до . Странный аттрактор, еще более напоминающий фрактал, вы получите, полагая .

Б.9. ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА СЕБЯ: СИНХРОНИЗАЦИЯ ЧИСЛА ВРАЩЕНИЙ И ДЕРЕВЬЯ ФЭРИ

Точка, движущаяся по поверхности тора, может служить абстрактно-математической моделью динамики двух связанных осцилляторов. Амплитуды движения осцилляторов служат малым и большим радиусами тора и часто предполагаются фиксированными. Фазы осцилляторов соответствуют двум углам, задающим положение точки вдоль малой окружности (меридиана) и большой окружности (параллели) на поверхности тора. Сечение Пуанкаре вдоль малых окружностей тора порождает одномерное разностное уравнение, называемое отображением окружности на себя:

где — периодическая функция.

Каждая итерация этого отображения соответствует траектории одного осциллятора вдоль большой окружности тора. Популярным объектом исследования является так называемое стандартное отображение окружности (нормированное на )

Возможные движения, наблюдаемые при этом отображении, являются: периодические, квазипериодические и хаотические режимы. Чтобы увидеть периодические циклы, постройте точки на окружности с прямоугольными координатами

При параметр 0 есть не что иное, как число вращений — отношение двух частот несвязанных осцилляторов.

При отображение может быть периодическим и когда — иррациональное число. В этом случае говорят, что осцилляторы синхронизованы или что произошло затягивание мод. При можно наблюдать синхронизованные или периодические движения в областях конечной ширины вдоль оси О, которые, разумеется, содержат иррациональные значения параметра . Например, при цикл с периодом 2 может быть найден в интервале а цикл с периодом 3 — в интервале Чтобы найти эти интервалы при вычислите число вращений W как функцию параметра при 0 01. Число вращений мы вычислим, еслн отбросим действие сравнения по и перейдем к пределу

На практике, чтобы получить число вращений с достаточной точностью, нужно взять N > 500. Построив график зависимости W от , вы увидите серию плато, соответствующих областям синхронизации. Чтобы увидеть больше областей синхронизации, следует, выбрать малую область АП и построить W для большого числа точек в этой малой области.

Каждое плато синхронизации на графике ) соответствует рациональному числу — отношению циклов одного осциллятора к q циклам другого осциллятора. Отношения упорядочены в последовательность, известную под названием дерева Фэри. Если заданы две области синхронизации мод при значениях параметров , то между ними в интервале заведомо найдется еще одна область синхронизации с числом вращений

Начав с 0/1 при и 1/1 при можно построить всю бесконечную последовательность областей синхронизации. Большинство из них очень узкие.

Обратите внимание на то, что ширина этих областей стремится к нулю при и становится больше при Области синхронизации в плоскости () имеют форму длинных выступов, и иногда их называют языками Арнольда.

Б.10. АТТРАКТОР РЁССЛЕРА: ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ОДНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

Каждая из основных областей классической физики создала свою модель хаотической динамики: гидромеханика — уравнения Лоренца, строительная механика — аттрактор Дуффинга—Холмса с двумя потенциальными ямами, электротехника — аттрактор Дуффинга—Уэды. Еще одна простая модель возникла в динамике химических реакций, протекающих в некоторой емкости с перемешиванием. Предложил ее Рбсслер [163]:

Эти уравнения часто исследовались при Периодические движения с периодами 1, 2 и 4 могут быть обнаружены при и 4,1. При могут встретиться хаотические движения.

Модель Рбсслера обладает свойствами линейного осциллятора с отрицательным коэффициентом затухания и обратной связью

Она служит примером многомерных систем, динамика которых допускает аппроксимацию одномерным отображением. Проведите сечение Пуанкаре при и постройте на плоскости одномерное отображение из точек т. е. постройте график зависимости от Обратите внимание на сходство полученной кривой с квадратичным, или логистическим, отображением. Неудивительно, что в модели Ресслера наблюдается удвоение периода.

Б.11. ФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ: ОТОБРАЖЕНИЕ КАПЛАНА—ЙОРКЕ

Пример двумерного отображения с фрактальной границей области притяжения был исследован Капланом и Йорке [90] и Макдональдом и др. [119]:

где — целое число. При это отображение обладает странным аттрактором, который читатель может исследовать с помощью компьютера. [Известно [166], что при фрактальная размерность этого аттрактора равна ]

В качестве простого численного эксперимента с границами областей притяжения попробуйте рассмотреть случай При этих значениях существуют два аттрактора Выберите подходящий масштаб для прямоугольника . Чтобы достичь границы, задайте какое-нибудь начальное значение и перебирайте одно за другим начальные значения V. При каждой паре начальных значений итерируйте отображение до тех пор, пока не превзойдет 10 или какое-нибудь другое большое значение. Если в точке ) оставьте пробел; если поставьте точку. Если при считывании снизу вы добрались до верхней границы прямоугольника, а величина ( не превзошла установленного порядка, то дальнейшее продвижение по можно прекратить и перейти к другому

Рассматриваемый нами пример — один из немногих, в которых удается получить явную формулу для границы:

(см. [119]).

Макдональд и др. [119] получили также емкостную размерность этой границы . Граница области притяжения непрерывна, имеет бесконечную длину и нигде не дифференцируема.

Б.12. ОТОБРАЖЕНИЯ ТОРА

Движение связанных нелинейных осцилляторов иногда удобно представлять на поверхности тора. Когда число осцилляторов равно двум, сечение Пуанкаре тора порождает отображение окружности. Но когда число осцилляторов равно трем, динамическое взаимодействие фаз осцилляторов происходит на поверхности абстрактного — трехмерного — тора.

Сечение Пуанкаре этого трехмерного тора порождает двумерное отображение на двумерном торе. Гребоги и др. [32] исследовали такие отображения и получили красивые картины хаотических аттракторов. Система уравнений, задающих двумерное отображение, принимает вид

Функции и — периодические функции, задаваемые выражениями

где и пара принимает значения (1, 0), (0, 1), (1, 1) и (1, —1). Значения коэффициентов Гребоги и др. [52] выбирали случайно. Подробности приведены в табл. 1, помещенной в их работе. Итерации отображения порождают красочные картины странного аттрактора на торе. При достаточно сильном разрешении такие картины вполне заслуживают того, чтобы их заключить в раму (см. рис. 7, 9—11 в работе [52]).

Отображения такого рода встречаются также в теории Ньюхауса—Рюэля—Такенса квазипериодического пути к хаосу.