ОПТИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕССОР ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Принципиальная схема экспериментальной установки, приведенная на рис. 6.18, показывает, какой путь проделывает свет. Предлагаемый метод использует две особенности классической оптики. Во-первых, если свет проходит через малое отверстие диаметра D и выполняется условие дифракции Фраунгофера (, где — длина волны света), то на плоскости, расположенной на расстоянии L за отверстием, свет образует круглое пятно («зайчик») радиусом . Величина радиуса определяется из соотношения . В описываемом нами методе отверстием служит светлое пятнышко («точка») на негативе плоского отображения Пуанкаре, и небольшой кружок света падает на точную копию негатива, расположенную на расстоянии L от первого негатива (рис. 6.18). Во-вторых, для некогерентного излучения количество света, испускаемого вторым негативом, пропорционально числу светлых точек, или пятнышек, оказавшихся внутри кружка света.

Рис. 6.18. Схема экспериментальной установки для оптического измерения фрактальной размерности [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).

Таким образом, общее количество света, проходящего через обе пленки, пропорционально корреляционной функции . Чтобы вычислить или проварьировать , мы просто измеряем или варьируем L — расстояние между двумя негативами.

В более точной форме наши утверждения сводятся к следующему. Пусть — световой поток за негативом, обусловленный потоком проходящим через круглое отверстие в точке на негативе:

(6.4.1)

где есть число отверстий в круге та, создаваемом потоком, проходящим через отверстие в точке — площадь светлой «точки» на 1-й пленке. Нетрудно ввдеть, что в явном виде зависит от . Однако мы хотим измерить только n. Используя линейное соотношение между и L, определим приведенный световой поток где — радиус освещенной площадки при — расстояние, выбранное за эталонное). Суммируя по всем точкам на 1-й пленке, получаем

(6.4.2)

Если интенсивность падающего света распределена по 1-й пленке равномерно, то

(6.4.3)

Отображения Пуанкаре могут быть получены либо с помощью численного решения системы трех уравнений, либо из экспериментальных данных. Свет, проходящий через 2-ю пленку, фокусируется на фотоэлементе для измерения светового потока. Свет от источника проходит через светофильтр (янтарно-оранжевого цвета), что позволяет оптимизировать отклик фотоэлемента на волну в окрестности . Размеры светлых точек на негативе не превышают 0,2 мм, поэтому и условие дифракции Фраунгофера выполнено.

Выходное напряжение от фотоэлемента содержит немало шума. Чтобы выделить сигнал на фоне шума, в схеме предусмотрен механический прерыватель света и усилитель с синхронизацией. Прерыватель работает на частоте около 100 Гц, чтобы исключить шум в линиях спектра мощности.

Рис. 6.19. Световой поток как функция расстояния между двумя негативами отображения Пуанкаре в дважды логарифмическом масштабе по данным о колебаниях продольно изогнутой балки [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).

Световой поток за 2-м негативом измеряли с помощью фотоэлемента как функцию расстояния между негативами, и график зависимости приведенного светового потока (6.4.2) от расстояния L в дважды логарифмическом масштабе представлен на рис. 6.19. Теоретически угловой коэффициент этой линии должен давать фрактальную размерность (6.2.5).

Вычисления фрактальных размерностей с использованием корреляционной функции показали, что для измерения углового коэффициента существует оптимальный диапазон значений радиуса . При малых мы сталкиваемся с погрешностью, обусловленной шумом, которым сопровождается порождение отображения (эта погрешность приводит к увеличению углового коэффициента). При больших мы достигаем размера самого аттрактора, и поэтому выходит на насыщение (что приводит к уменьшению углового коэффициента). График зависимости углового коэффициента от представлен на рис. 6.20. Нетрудно видеть, что в некотором диапазоне значений , или расстояний L между негативами, кривая выходит на плато. Значение, соответствующее этому плато, было выбрано за фрактальную размерность. Данные были получены путем моделирования по схеме Рунге—Кутта уравнения (6.3.7) вынужденного движения в потенциале с двумя ямами; 4000 точек были получены путем построения сечения Пуанкаре, синхронного с частотой вынуждающей силы.

Рис. 6.20. Угловой коэффициент как функция расстояния L между негативами или радиуса по данным, аналогичным тем, которые приведены на рис. 6.19 [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).

Приведенный световой поток на выходе изме» рялся примерно при 200 значениях L. На рис. 6.19 представлен только линейный участок зависимости от log L. Угловые коэффициенты на рис. 6.20 получены на основе усреднения локальных угловых коэффициентов кривой по 30 точкам.

Сравнение оптически измеренной фрактальной размерности с размерностью, вычисленной по результатам численных экспериментов Муна и Ли [143], проведено в табл. 6.3 при нескольких значениях коэффициента затухания. Согласие, как мы видим, исключительно хорошее.

В той же таблице проведено сравнение оптического и численного методов для отображений Пуанкаре, построенных по экспериментальным данным для колебаний продольно изогнутой балки. В этой серии экспериментов фаза проведения сечения Пуанкаре изменялась. Оптическое измерение фрактальной размерности подтверждает результаты численных расчетов, а именно независимость размерности от фазы отображения Пуанкаре. Отсюда следует, что размерность самого странного аттрактора равна 1 + D, где D — размерность плоского отображения.

Таблице 6.3. Оптически измеренная фрактальная размерность для отображений Пуанкаре; построенных по результатам численного моделирования и по экспериментальным данным