6.5. ГРАНИЦЫ ФРАКТАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ. ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ

В большинстве физических линейных систем при данном воздействии на входе существует только один режим движения. Например, откликом линейной системы масса — пружина — демпфер на начальный импульс силы служит затухающее движение, в результате которого масса приходит в состояние покоя. У такой системы всего лишь один аттрактор, а именно точка равновесия. Однако у нелинейных систем может быть несколько положений равновесия или, как в случае некоторых самовозбуждающихся систем, может существовать несколько периодических или непериодических движений.

Положения равновесия и периодические движения, или движения по предельным циклам, называются в математической теории динамических систем аттракторами. Диапазон значений входных или управляющих параметров, при которых движение стремится к данному аттрактору, называется его областью притяжения в пространстве параметров.

Рис. 6.21. Схематическое изображение двух аттракторов в фазовом пространстве и границы между их областями притяжения в про. странстве начальных условий.

Если существуют два или более аттракто. ров, то переход из одной области притяжения в другую называется границей области притяжения (рис. 6.21). Принято считать, что в классических задачах граница области притяжения представляет собой гладкую непрерывную линию или поверхность, как на рис. 6.21. Это означает, что, когда входные параметры далеки от границы, небольшие отклонения в их значениях не влияют сколько-нибудь существенно на характер движения. Выяснилось, однако, что во многих нелинейных системах граница областей притяжения негладкая. Более того, она фрактальная. Отсюда и термин — фрактальная граница области притяжения. Существование фрактальных границ областей притяжения сказывается, причем весьма ощутимо, на поведении динамических систем: при наличии фрактальных границ небольшие вариации начальных условий или других параметров системы могут приводить к значительным изменениям в ее поведении. Тем самым поведение систем с фрактальными границами областей притяжения становится не всегда предсказуемым [50, 52, 55].