ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ — БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

До сих пор этот метод распространен наиболее широко, поскольку идея разложения непериодического сигнала в набор синусоидальных, или гармонических, сигналов широко известна среди ученых и инженеров. В этом методе делается предположение, что периодический или непериодический сигнал можно представить в виде комбинации синусоидальных или косинусоидальных колебаний:

(4.7.1)

Поскольку функция часто оказывается комплексной, в графических представлениях часто используется ее абсолютная величина

Практически для вычисления по результатам эксперимента в ходе изменения какого-либо экспериментального параметра (см. гл. 2) используется некоторое электронное устройство или компьютер. Когда движение периодично или квазипериодично, функция имеет ряд узких пиков или спектральных линий, указывающих, что сигнал можно представить дискретным набором гармонических функций Однако при приближении к хаотическому режиму появляется непрерывное распределение частот, подобное показанному на рис. 4.21, в, а в полностью развитом хаотическом режиме непрерывный спектр может преобладать над дискретными пиками.

В общем случае является комплексной функцией , и для спектрального разложения определенных классов сигналов интегрирование в (4.7.1) следует проводить вдоль некоторых путей Г на плоскости комплексного Даже на быстродействующем компьютере численное вычисление по данному часто занимает много времени. Впрочем, большинство современных спектр-анализаторов используют дискретный аналог соотношения (4.7.1) в сочетании с эффективным алгоритмом, называемым быстрым преобразованием Фурье (БПФ).

Рис. 4.21. а — Фурье-спектр хаотического сигнала; б — автокорреляционная функция хаотического сигнала.

Если задан набор измерений, снятых в дискретные равномерно распределенные интервалы времени то БПФ в дискретном времени определяется как

где — целые числа.

Следует сделать несколько замечаний, которые могут показаться очевидными. Во-первых, измерения проводятся через фиксированный интервал времени поэтому теряется информация о частотах, превышающих Во-вторых, в расчетах используется только конечный набор точек, обычно и некоторые встроенные схемы БПФ учитывают массивы только с или 1028 элементами. Поэтому теряется информация об очень низких частотах ниже . И наконец, представление (4.7.2) не включает информацию о значениях до момента и, по сути дела, функция воспринимается как периодическая. В общем случае это неверно, и, поскольку при преобразовании Фурье эта непериодичность воспринимается как разрыв, привнося в фиктивные особенности. Они называются ошибками обрезания, и существуют методы минимизации их вклада в Однако читатель, использующий БПФ, должен помнить об этом при интерпретации спектров Фурье непериодических сигналов, и ему следует подробнее познакомиться с БПФ по руководствам по обработке данных.

Автокорреляционная функция. Другим методом обработки сигнала, связанным с преобразованием Фурье, является получение автокорреляционной функции, определяемой как

Когда сигнал хаотичен, информация о его истории теряется. Это означает, что при т.е. сигнал обнаруживает корреляцию только со своим недавним прошлым. Рис. 4.21, б поясняет это на примере хаотических колебаний изогнутого стержня. Спектр Фурье обнаруживает широкую полосу частот, а автокорреляционная функция тем временем имеет максимум в начале координат и быстро затухает со временем.