МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ МУРА И ШПИГЕЛЯ
Часто случается, что важные открытия делаются не одним исследователем — несколько человек в разных местах примерно одновременно обнаруживают новое явление. Так случилось и с моделями динамики тепловой конвекции, имеющими небольшое число степеней свободы. Выше мы обсудили ныне знаменитые уравнения Лоренца [115] (3.2.3), которые через некоторое время после их получения вызвали громадный интерес математиков.
Но примерно в то же время Мур и Шпигель [147], сотрудники соответственно Института им. Годдарда и Нью-йоркского университета, предложили модель неустойчивых колебаний жидкости, которая вращается, содержит магнитное поле или является сжимаемой и в которой присутствует тепловая диссипация. Как и уравнения Лоренца, полученные в их статье уравнения эквивалентны трем дифференциальным уравнениям первого порядка. Пусть через z обозначено вертикальное смещение массы сжимаемой жидкости в горизонтально стратифицированной среде (рис. 3.2, а). Силами, восстанавливающими исходное состояние, являются упругость пружины и сила плавучести, которая возникает благодаря тяготению. Кроме того, жидкий элемент может обмениваться теплом с окружающей средой. Таким образом, динамика модели описывается связанными уравнением второго порядка (закон Ньютона) и уравнением переноса тепла, имеющим первый порядок. В результате возникает уравнение третьего порядка. В безразмерном виде оно записывается как
(3.2.4)
где использовано предположение о нелинейном профиле температуры вида
В уравнении (3.2.4) Т и R — безразмерные комплексы, имеющие следующий физический смысл:
Рис. 3.2. а — Система из пружины и массы (аналог модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147]); б — область непериодических движений в пространстве безразмерных параметров модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147], уравнение (3.2.4).
При численном исследовании этого уравнения Мур и Шпигель обнаружили целую область апериодического движения, показанную на рис. 3.2, 6. В последовавшей затем статье Бейкер и др. [6] исследовали устойчивость периодических решений в апериодическом режиме.
Этими авторами показано, что уравнение (3.2.4) можно привести к виду
Предел 
соответствует случаю нулевой диссипации. Как показали Бейкер и др., в этом предельном случае больших 
периодические решения (3.2.5) в области периодических движений становятся локально неустойчивыми. Это сочетание глобальной устойчивости и локальной неустойчивости, по-видимому, характерно для хаотических дифференциальных уравнений. В более поздней работе [126] изучен более общий класс уравнений третьего порядка вида
(3.2.6)
где 
имеет смысл потенциальной энергии. Здесь показано, что как уравнения осциллятора Мура — Шпигеля (3.2.4), так и система Лоренца (3.2.3) (после замены переменных) могут быть приведены к виду (3.2.6). Для частных случаев системы (3.2.6) численно найдены решения со странным аттрактором.
Приведенная система уравнений описывает также осциллятор второго порядка с управляющей обратной связью (параметр X).
Историков науки ждет интересная задача понять, почему системе Лоренца посвящено так много исследований, а модель Мура — Шпигеля практически игнорируется математиками. В обеих работах моделируется конвекция. Лоренц опубликовал свою статью в Journal of Atmospheric Sciences, а Мур и Шпигель — в Astrophysical Journal.
