ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В ЖИДКОСТЯХ

Основная тема этой книги — механические и электрические системы низкого порядка, но новые взгляды на динамику сыграли такую существенную роль в динамике жидкостей, что мы не можем не упомянуть по крайней мере некоторые эксперименты с хаотическими движениями в жидкостях. Вспомним гл. 1, где говорилось, что главная нелинейность в задачах о жидкости связана с переносным ускорением , которое присутствует в уравнении движения (1.1.3). Впрочем, определенную роль могут играть и другие нелинейности, например условия на свободных поверхностях или поверхностях раздела и неньютоновские вязкие эффекты.

Можно выделить пять типов экспериментов с жидкостями, в которых наблюдались хаотические движения:

1) системы с замкнутыми течениями: конвекция Рэлея—Бенара течение Тейлора—Куэтта между цилиндрами;

2) открытые течения: течение в трубе, пограничные слои, струи

3) жидкие частицы: протекающий кран;

4) волны на поверхности жидкости: гравитационные поверх ностные волны;

5) реагирующие жидкости: перемешиваемый резервуар химиче ского реактора.

Одна из причин неослабевающего интереса к хаотической дина мике в жидкостях — возможность раскрыть на этом пути секреты турбулентности. (См., например, обзор [181] и сборник статей о хаосе в жидкостях [187].) Некоторые считают, что это слишком много для теории, основанной на нескольких уравнениях в обыкно венных производных и отображениях. Полагают также, что теория динамических систем приведет к работоспособной модели перехода к турбулентности (которую иногда называют «слабосильной»), но для решения более трудной проблемы турбулентности, полностью развитой в пространстве и времени (сильной турбулентности), по требуются принципиально новые Достижения. Каким бы ни был путь дальнейшего развития, нелинейная динамика прибавила новые методы в экспериментальную механику жидкости.

Системы с замкнутыми течениями — тепловая конвекция Рэлея—Бенара. Как мы помним по гл. 1, градиент температуры в жидкости, находящейся в поле тяготения, создает силу плавучести, которая вызывает вихревую неустойчивость и приводит к хаотическим и турбулентным движениям. Системой, экспериментально изученной лучше других, в настоящее время является тепловая конвекция жидкости в замкнутом прямоугольном объеме. Именно эту систему пытался моделировать Лоренц своими знаменитыми уравнениями (3.2.3).

Экспериментальные исследования тепловой конвекции Рэлея—Бенара в замкнутом объеме обнаружили, что предвестниками хаотического состояния являются последовательности удвоения периода. Эти эксперименты проводились с гелием, водой и ртутью для широкого диапазона значений безразмерных чисел Прандтля и Рэлея. Время проведения этих опытов приходится на конец 70-х годов. Например, Либхабер и Маурер [108] наблюдали колебания с удвоением периода при конвекции гелия. Ряд экспериментальных статей опубликовала группа из Французской национальной лаборатории в Сакле, Франция ([9-11], см. также [32]).

Этот эксперимент подобен изображенному на рис. 3.1 с силиконовым маслом в прямоугольной ячейке размером . В этих экспериментах обнаружены как переход к хаосу через квазипериодические колебания [150], так и перемежаемый хаос. В первом случае по мере повышения градиента температуры наблюдалась следующая последовательность динамических явлений:

Частоты, наблюдаемые в этих экспериментах, очень низки (например, ). Французская группа одной из первых получила отображения Пуанкаре в опытах с жидкостями. Этому способствовало то, что они обнаружили в жидкости области, где преобладала одна частота, т. е. один осциллятор. Эту частоту можно было использовать для временной привязки отображений Пуанкаре. Два таких отображения показаны на рис. 2.18. Первое квазипериодично, и отношение частот близко к 3. Второе содержит 1500 точек отображения и показывает разрушение тороидального аттрактора перед установлением хаоса. Для измерения параметров течения использовались лазерный доплеровский анемометр и метод дифференциальной интерферометрии. Захват мод и хаос в конвекции исследуются также в более поздней работе [62].

Течение Тейлора-Куэтта между цилиндрами. Классической гидромеханической системой, в которой обнаруживается предтурбулентный хаос, является течение между двумя вращающимися цилиндрами (называемое течением Тейлора-Куэтта), изображенное на рис. 3.37.

Рис. 3.37. Схематическое изображение течения между двумя вращающимися цилиндрами, известного как течение Тейлора — Куэтта.

Этой системе посвящено множество работ (см., напри, мер, обзор [181]). Свойства этого течения определяются числом Рейнольдса и отношениями (отношением скоростей вращения внешнего и внутреннего цилиндров), а также граничными условиями на торцах. В этой системе перед установлением широкополосного хаотического шума наблюдаются квазипериодические колебания. Течению Тейлора—Куэтта посвящена также работа [13].

Замкнутый термосифон. Как ни странно, при всем внимании к аттрактору Лоренца как парадигме хаоса в конвективном течении было сделано немного попыток поставить эксперимент, который повторил бы все предположения модели Лоренца. Таким экспериментом, вплотную приближающимся к модели Лоренца, является опыт с течением жидкости в кольцевой трубке в поле силы тяжести. Связь этого эксперимента с моделью Лоренца была замечена Хартом [61]. Конвективные течения представляют интерес как модели геофизических течений, подобных теплым восходящим потокам или течению подземных вод сквозь проницаемые слои земной коры; важны также приложения к системам нагрева с помощью солнечной энергии или к системам охлаждения активной зоны реакторов.

Первые опыты проводились с термосифоном с трубкой прямоугольного сечения [7]. В этой работе получены уравнения, описывающие течение в замкнутой круговой трубке с силой тяготения, лежащей в плоскости петли, как показано на рис. 3.38. По сути дела, все переменные предполагаются не зависящими от радиальной координаты. Основными зависимыми переменными являются окружная скорость и температура . Рассматривается действие на жидкость вязких напряжений на стенках. Задается температура стенки и предполагается линейный закон охлаждения со скоростью, пропорциональной

Рис. 3.38. Тепловая конвекция в вертикальной одномерной замкнутой трубке с жидкостью — это модель термосифона.

Основными уравнениями являются закон сохранения углового момента элемента объема жидкости и уравнение в частных производных, описывающее сохранение энергии или перенос тепла.

Выталкивающая сила или ее момент вводятся в предположении, что плотность жидкости зависит от температуры по закону

(3.3.16)

так что суммарный крутящий момент, действующий на жидкость, пропорционален

(3.3.17)

где определение угла в показано на рис. 3.38.

Так же как при получении уравнений Лоренца (3.2.3), температура раскладывается в ряд Фурье. При этом уравнение в частных производных переноса тепла сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Следуя работе [61], запишем

(3.3.18)

Можно показать, что динамика определяется только гармоникой температуры с . После переобозначения переменных , где — аналог числа Рейнольдса, получаются следующие связанные уравнения первого порядка:

где — нелинейный закон трения. Эти уравнения сводятся к уравнениям Лоренца, когда . Такой предельный случай соответствует нагреву, несимметричному относительно вертикали. В экспериментах Бау и Торранса [7] исследовалась устойчивость течения, но не рассматривался хаотический режим. Ввиду близкого соответствия уравнений (3.3.19) и уравнений Лоренца (3.2.3) было бы естественным попытаться исследовать на опыте хаотические режимы в термосифоне. О другом примере анализа связи уравнений Лоренца и жидкости в подогреваемой петле см. в [212].

После первых экспериментов с конвективной петлей [24] о хаотических движениях не сообщалось. Однако более поздние опыты [46] воспроизвели некоторые признаки аттрактора Лоренца.

Рабочей жидкостью в этих опытах была вода, а установка состояла из стеклянной (пирекс) трубки диаметром 2,5 см, согнутой в петлю диаметром 75 см. Нижняя половина петли нагревалась с помощью ленты с высоким электрическим сопротивлением, а верхняя часть находилась в термостате при постоянной температуре.

Хаос течения в трубке. Хотя основное внимание теория динамических систем уделяет течениям с замкнутыми линиями тока, в инженерных разработках важное место занимают открытые течения. Среди них течения над воздушным крылом, пограничные слои, струи и течения в трубках. Недавно на приложения теории нелинейной динамики к проблемам перехода от ламинарного к турбулентному течению в открытых течениях стали обращать больше внимания. Один из примеров — опыт Сринивасана [179] из Йельского университета по исследованию перемежаемости течения в трубе. В этой задаче течение ламинарно и стационарно при малой скорости, но становится турбулентным при достаточно больших средних скоростях. Переход от ламинарного к турбулентному течению, происходящий при определенной критической скорости, по видимому, осуществляется через перемежаемые вспышки турбулентности. По мере увеличения скорости увеличивается доля времени, которое система проводит в хаотическом состоянии до тех пор, пока течение не турбулизуется полностью. Некоторые наблюдения этого явления восходят к Рейнольдсу (1883 г.). Основной предмет исследований сейчас состоит в попытке связать параметры этой перемежаемости, например распределение длительности вспышек, с динамическими теориями перемежаемости (см., например, [157]).

Хаос капель жидкости. Простая система, с помощью которой читатель может пронаблюдать хаотическую динамику у себя дома, — это протекающий кран. Этот опыт описан Р. Шоу из Калифорнийского университета в Санта-Крус в монографии о хаосе и теории информации [171]. Эксперимент и пример результатов измерений показаны на рис. 3.39. С помощью источника света и фотоэлемента измеряются интервалы времени между каплями, а управляющий параметр — это скорость вытекания воды из крана. В своем эксперименте Шоу фиксировал последовательность моментов времени , но не измерял размер капель и другие их параметры, например форму. Ему и его студентам удалось получить периодическое движение, явления удвоения периода, а также хаотическое движение. При разных скоростях вытекания получаются разные отображения Отображение, показанное на рис. 3.39, имеет вид классического одномерного квадратичного отображения, подобного логистическому отображению Фейгенбаума [37].

Рис. 3.39. Одномерное отображение, полученное в эксперименте по измерениям интервалов времени между каплями, которые падают из протекающего крана [171] (Ariel Press, © 1984).

Наблюдалось также более сложное отображение, которое лучше всего может быть представлено в трехмерном пространстве как зависимость от . Этот пример использования дискретных измерений для составления псевдофазового пространства, который подсказывает, что следовало бы измерять еще одну динамическую переменную (например, размер капли) (см. гл. 4).

Хаос поверхностных волн. Хорошо известно, что по поверхности раздела двух несмешивающихся текучих сред (пример — воздух над водой) в поле тяготения могут распространяться волны. Такие волны можно возбудить, потряхивая жидкость в вертикальном направлении так же, как при возбуждении параметрических колебаний маятника. Субгармоническое возбуждение волн на мелкой воде было получено еще Фарадеем в 1831 г. Анализ этого явления с точки зрения удвоений периода был проведен группой, работающей на линейном ускорителе Калифорнийского университета [91]. В этих экспериментах исследовались волны на соленой воде в кольце среднего радиуса 4,8 см, сечение которого составляло см.

Система возбуждалась в вертикальном направлении с помощью помещаемого под ней акустического громкоговорителя. Измерения зависимости высоты волн от времени в нескольких местах в кольце позволили зарегистрировать перед установлением хаотического режима последовательность субгармоник, которая не подчиняется классическому закону удвоения периода. Наблюдались, например, резонансные частоты , где — частота возбуждения, а ; эта последовательность не совпадает с последовательностью типичной для логистического уравнения.

В другом исследовании вынужденных поверхностных волн наблюдался цилиндрический объем воды радиусом 6,35 см и глубиной около 1 см [22]. Для изучения областей периодического и хаотического изменения высоты волн также использовалось возбуждение громкоговорителем. Например, хаотическое волновое движение было получено при частоте возбуждения около 16 Гц и амплитуде вертикальных возбуждающих колебаний около 0,15 мм. Авторы этой работы попытались объяснить свои результаты в рамках теории нелинейного взаимодействия двух линейных пространственных мод. Теоретический анализ этой задачи проведен Холмсом [78].

Хаос в химических реакциях. Рйсслер [163, 164] и Хадсон и др. [81] наблюдали хаотическую динамику в небольшом диффузионном химическом реакторе. Кроме того, Шрибер и др. [168] обнаружили аналогичные процессы в паре связанных реакторов с перемешиванием. Если — концентрации химических компонентов в одном реакторе, — в другом, то динамическое поведение системы описывается следующими уравнениями:

Классическим примером химического хаоса теперь стала реакция Белоусова—Жаботинского в реакторе с перемешиванием. Здесь наблюдались субгармонические колебания и удвоение периода [175]. При постоянных концентрациях компонентов на входе реактора концентрация бромид-иона, одного из реагирующих компонентов, обнаруживает сложное субгармоническое поведение, зависящее от скорости потока через реактор.

Хаос световых вот. В физической литературе опубликовано множество работ, посвященных хаотическому поведению лазерных систем, а также хаотическому распространению света в нелинейных оптических устройствах. Подробный обзор хаоса в оптических системах сделали Харрисон и Бисвас [60]. Причиной нелинейности в простейшей лазерной системе является ее попеременное нахождение на одном из по меньшей мере двух энергетических уровней. Самая простая математическая модель подобной системы состоит из трех уравнений первого порядка для электрического поля в активной области, степени неравновесности заселенности уровней и индуцированной атомной поляризации. Структура этих уравнений, называемых уравнениями Максвелла—Блоха, подобна структуре уравнений Лоренца (3.2.3), обсуждавшихся в гл. 1 и 3. Хаотические явления в лазерах наблюдались как в автономном режиме, так и при внешней модуляции.

В упомянутом выше обзоре [60] обсуждается еще один класс задач, связанных с пассивной нелинейной оптикой. В этом случае коэффициент преломления (скорость света в среде) зависит от интенсивности света, например, благодаря эффекту Керра.

Биологический хаос. Новые математические модели нелинейной динамики обладают заманчивым свойством — они имеют широкие приложения во многих разнообразных областях науки. Неудивительно поэтому, что динамические явления в биологических системах, обнаруживающих периодические и хаотические движения, объясняются с помощью тех же уравнений, которые справедливы для электрических и механических систем. Здесь мы упомянем лишь два примера.

Хаотическое биение сердца. Гласс и др. [40] поставили эксперименты по динамике спонтанных биений групп клеток из сердца эмбрионов цыплят. В отсутствие стороннего стимулирования период этих колебаний заключен между 0,4 и 1,3 с. Однако, когда в эти группы клеток с помощью микроэлектродов посылались периодические импульсы тока, наблюдались захват мод, квазипериодичность и хаотические движения.

Обсуждение связи нелинейной динамики и хаотических моделей со свертыванием крови в венах можно найти в недавней работе [41]. Там же приведен ряд ссылок по динамике сердца.

Нервные клетки. В похожем эксперименте признаки хаотического поведения появлялись при синусоидальной стимуляции гигантского нейрона морского моллюска [64].