ХАОС В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим механическое устройство с нелинейной силой, восстанавливающей равновесие, и предположим, что в системе действует также управляющая сила, которая переводит систему из одного положения равновесия в другое в соответствии с некоторым заданным опорным сигналом 
. Моделью такого устройства служит следующая система уравнений третьего порядка:
(3.2.28)
Здесь z описывает силу, создаваемую петлей обратной связи, a 
и 
— соответственно коэффициенты усиления обратной связи по положению и скорости. Этой системе уравнений можно сопоставить блок-схему рис. 3.16 с нелинейным механическим устройством g линейным законом обратной связи.
Рис. 3.16. Система управления с обратной связью — нелинейное устройство с линейной цепью обратной связи.
Рис. 3.17. Вверху — изменение границы области хаоса в зависимости от коэффициента усиления обратной связи и частоты сигнала на входе; внизу — траектории периодического и хаотического динамического движения массы с петлей обратной связи и нелинейной восстанавливающей силой с фазами отключения (см. рис. 3.4).
На примере такой системы можно исследовать два типа задач о хаотических колебаниях. В задачах первого типа, если система автономна, т.е. если опорный сигнал равен нулю, 
имеет смысл изучить пространство коэффициентов усиления 
в поисках областей покоя и периодических или хаотических колебаний. В задачах второго типа сигнал 
периодичен. Иначе говоря, мы будем вновь и вновь перемещать массу по заданной траектории, как в автоматическом станке. Тогда можно искать те значения частоты и коэффициента усиления, при которых система ведет себя по периодическому закону или же хаотично (рис. 3.17).
Хаотические колебания автономной системы вида (3.2.28) были исследованы Холмсом и Муном [79] и Холмсом [77]. К примеру, 
эта механическая система имеет три положения устойчивого равновесия. Было показано, что в ней возможны как периодические колебания на предельном цикле, так и хаотическое движение.
Система с обратной связью под действием внешнего возбуждения рассматривалась в работе [45]. Кроме того, хаотические колебания изучались в системе с кусочно-линейной функцией обратной связи [177]. Имеется еще ряд работ, где исследуются подобные примеры [5, 15].
