ФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ХАОСА В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ

Как мы уже убедились, небольшие изменения в начальных условиях могут существенно изменить характер поведения динамической системы. Естественно задать вопрос: существует ли аналогичная чувствительность к другим параметрам, управляющим динамикой, таким, как амплитуда или частота вынуждающей силы, коэффициент затухания или сопротивления в цепи.

Мы рассмотрим здесь один пример: построенную по экспериментальным данным фрактальную границу между хаотическими и периодическими вынужденными колебаниями системы с одной степенью свободы.

Если система допускает несколько (не менее двух) типов движения, то обычно определяют диапазон значений параметров, в котором существует тот или другой тип движения. В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами (см. гл. 2 и 5) было бы весьма интересно заранее знать, какое — хаотическое или периодическое — движение установится под действием периодической вынуждающей силы. Уравнение, описывающее такие колебания, уже известно читателю, — это уравнение (6.5.2). В этой задаче для исключения всех параметров, кроме трех , мы использовали метод обезразмеривания. Как упоминалось в гл. 5, и Холмс [73], и Мун [136] вывели критерии, связывающие параметры соотношениями для случая, когда возникает хаотическое движение. Эти соотношения, (5.3.28) и (5.3.42), имеют вид неравенств

(6.5.4)

Если безразмерный коэффициент затухания у фиксирован, то оба критерия задают гладкие кривые на плоскости , как показано на рис. 6.31. Однако при сравнении этих критериев с экспериментальными данными (Мун [139]) становятся заметными два отличия.

Рис. 6.31. Фракталоподобная граница между хаотическими и периодическими движениями на плоскости амплитуда — частота вынуждающей силы. Экспериментальные данные взяты из работы по изучению колебаний продольно изогнутой балки [139] (The American Physical Society, © 1984).

Во-первых, теоретические критерии задают нижние границы данных и, во-вторых, экспериментальный критерий дает часто колеблющуюся нерегулярную кривую, которая вполне может оказаться фрактальной.

Эксперименты были выполнены на уже хорошо знакомой нам продольно изогнутой консоли, помещенной между двумя постоянными магнитами (рис. 2.2, б). Упругая балка (стержень), магниты и опора помещались на электромагнитный качающийся вибратор, воздействовавший на систему с вынуждающей силой заданной амплитуды А 0 и частотой и. Безразмерная сила в уравнении (6.5.2) связана с амплитудой соотношением

При выполнении эксперимента мы фиксировали частоту вынуждающей силы и медленно увеличивали амплитуду колебаний вибратора. Если балка совершала первоначально периодические колебания вокруг одного из положений равновесия в продольно изогнутом состоянии, то амплитуда возрастала до тех пор, пока «верхушка» балки не выскакивала из потенциальной ямы.

Для определения характера движения (хаотическое оно или периодическое) было использовано отображение Пуанкаре. Движение измерялось датчиками деформации, прикрепленных к защемленному концу балки, а в качестве фазовой плоскости была выбрана плоскость деформация — скорость деформации. Отображение Пуанкаре таких сигналов были синхронизованы с частотой вынуждающей силы. Наступление хаоса определялось по тому, что конечное множество точек в сечении Пуанкаре (за которым можно наблюдать помощью осциллоскопа; см. гл. 4) становилось неустойчивым и на экране возникала картина, напоминающая по виду канторовское множество.

При различных вариантах расположения магнитов и балки (длинной пластины) испытанию подвергались по крайней мере пять наборов данных, соответствующих хаотическим границам, и во всех случаях было обнаружено негладкое поведение. В данных, приведенных на рис. 6.31, использовано около 70 частот в диапазоне от 4 до 9 Гц.

Чтобы определить, фрактальна ли граница между хаотическими и периодическими движениями, нами была измерена фрактальная размерность множества экспериментальных точек. Для этого мы, во-первых, соединили точки отрезками прямых. Во-вторых, придав определенный раствор циркулю, принялись измерять длину границы как функцию раствора циркуля. Именно такой метод по описанию Мандельброта [124] был применен для измерения фрактальной размерности береговой линии различных стран.

Итак, мы аппроксимируем экспериментальную границу N прямолинейными отрезками длиной . При уменьшении раствора циркуля число отрезков, необходимых для того, чтобы аппроксимировать кривую, возрастает. Общая длина аппроксимирующей ломаной равна

(6.5.5)

Для нефрактальной кривой или поэтому X становится мерой длины границы. Но для фрактальных кривых, таких, как кривая Кох , где параметр мал, a D — не целое число. Следовательно, измеряя зависимость L от , мы получаем

(6.5.6)

и, измеряя угловой коэффициент log L как функции , находим фрактальную размерность

Можно показать, что такой способ вычисления фрактальной размерности эквивалентен покрытию множества точек малыми квадратами, т. е. способу, которые мы обсуждали, когда вводили определение емкостной фрактальной размерности (6.1.2).

Результаты этой серии измерений представлены на рис. 6.32 для двух групп данных. Мы видим, что длина граничных кривых возрастает с уменьшением раствора циркуля и что фрактальная размерность заключена в интервале от 1,24 до 1,28. Следовательно, имеются достаточно веские основания считать, что граница между периодическими и хаотическими режимами в пространстве параметров фрактальна.

Рис. 6.32. Вычисление фрактальной размерности границы хаотической области на рис. 6.31.

Следует заметить, однако, что, хотя приведенное выше одномодовое описание хаотических колебаний упругой балки (6.5.2) дает очень хорошее согласие с экспериментальными данными, если судить по отображениям Пуанкаре, реальный эксперимент затрагивает бесконечно много степений свободы, которые, как мы надеемся, не влияют на низкочастотное поведение. Однако вполне может быть, что высшие моды влияют (и даже существенно) на фрактальную природу границы на рис. 6.31. Чтобы со всей определенностью ответить на вопрос о том, влияют ли (и на что именно) высшие моды на низкочастотные режимы, необходимы дальнейшие исследования.

Во всяком случае, приведенные выше результаты показывают, что четкий критерий хаоса, возможно, и не существует. Явно фрактальная природа границы, устанавливаемой критерием, может быть присуща многим системам. Возникновение фрактальной границы моно рассматривать как верхнюю и нижнюю границы существования хаотических режимов.