ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА

Движение частицы в силовых полях, которые периодичны как в пространстве, так и во времени, служит моделью ряда процессов в физических системах. Среди них классический маятник, заряженная частица в движущемся электрическом поле, синхронные роторы и переход Джозефсона.

Например, нелинейная динамика частицы, движущейся в бегущем электрическом поле, описывается уравнением (см., например, [214])

(3.2.12)

где g — периодическая функция. Изучение вынужденных колебаний маятника, описываемых уравнением

(3.2.13)

также выявило сложные динамические процессы и хаотические колебания (см. [58, 72]).

Параметрическими колебаниями называют колебания системы при периодических изменениях во времени одного из нескольких параметров системы. Например, стержень на простой подвеске, на который действует осевое доизгибное сжатие, в одномодовом приближении описывается уравнением

(3.2.14)

Это линейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных является хорошо известным уравнением Матье. При определенных значениях и это уравнение имеет неустойчивые колебательные решения. Влияние нелинейностей превращает эти колебания в предельный цикл. Аналогичный пример — маятник с колеблющейся точкой подвеса (рис. 3.9). Численное исследование хаотических колебаний в этой задаче проведено в [104, 120]. Математическое описание такого маятника приводит к уравнению

(3.2.15)

В этих численных решениях наблюдаются удвоения периода, и для шестой субгармонической бифуркации оценка числа Фейгенбаума дала

Рис. 3.9. Маятник с параметрическим возбуждением.

Хаотическое движение двойного маятника исследовалось Рихтером и Шольцем [160].