ЧУВСТВИТЕЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ: ПЕРЕХОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ

Прежде чем мы займемся изучением задачи с фрактальной границей области притяжения, полезно рассмотреть случай, когда граница области гладкая, но движение чувствительно к выбору начальных условий. С такой ситуацией мы встречаемся, например, в переходной динамике частицы с затуханием. Этот одномерный пример служит простой моделью поведения упругой балки после выпучивания или частицы в потенциале с двумя ямами. Уравнение движения в этом случае имеет вид:

(6.5.1)

В отличие от аналогичной задачи с периодической вынуждаюшей силой полная динамика может быть описана на двумерной фазовой плоскости

Перемещение и время можно отнормировать так, чтобы два устойчивых положения равновесия располагались на фазовой плоскости в точках (±1, 0), а собственная частота в отсутствие затухания составляла 1 рад/с. Управляющими параметрами служат коэффициент затухания у и начальные условия . Хотя всего существуют три положения равновесия (при х = 0), устойчивы только два последних, поэтому мы имеем в данном случае две конкурирующие области притяжения.

Дауэлл и Пезешки [31] исследовали области притяжения в рассматриваемой нами задаче (рис. 5.25 и 6.22). Эти авторы классифицировали области притяжения по тому, сколько раз траектория частицы пересекает ось х = 0, прежде чем устремится к х = ±1. Нетрудно видеть, что при достаточно «больших» начальных условиях существуют чередующиеся полосы, из которых траектория направляется в конце концов к левому (или к правому) аттрактору. Хотя границы полос остаются гладкими, их ширина стремится к нулю, когда коэффициент затухания Таким образом, если начальные условия заданы с конечной погрешностью (на рис. 6.22 им соответствует окружность радиуса ), то мы не можем с определен ностью предсказать, к какому из аттракторов устремится траектория частицы при где при

Рис. 6.22. Области притяжения для движения частицы в потенциале с двумя ямами с затуханием в отсутствие вынуждающей силы [31]. Числа показывают, сколько раз траектории пересекают ось х = 0 до того, как приходят к одному из двух положений равновесия х = ±1.

При отличном от нуля коэффициенте затухания мы можем с определенностью предсказать конечное состояние только в том случае, если располагаем точной информацией относительно начального состояния.

В следующем примере мы продемонстрируем фрактальную границу области притяжения. Конечное состояние в этом случае всегда неопределенно независимо от того, сколь мал радиус , т. е.