ОТОБРАЖЕНИЕ ЭНОНА И «ПОДКОВА»
Не удивительно, что состояние большинства физических систем описывается более чем одной переменной и необходимо исследовать отображения более высокого порядка. Одним из обобщений задачи Фейгенбаума (1.3.6) является двумерное отображение, предложенное французским астрономом Эноном [68]:
(1.3.8)
Заметим, что при 
мы возвращаемся к квадратичному отображению. При 
отображение уменьшает площади в плоскости 
Кроме того, оно вытягивает и изгибает области на фазовой плоскости, как это показано на рис. 1.20. В результате этого растяжения, сжатия и изгиба или складывания областей фазового пространства получаются области, напоминающие подкову. Последовательные итерации таких отображений типа подковы приводят к появлению в фазовом пространстве сложных орбит, потере информации о начальных условиях и хаотическому поведению.
Рис. 1.20. Преобразование прямоугольной области начальных условий под действием системы разностных уравнений второго порядка, называемой отображением Энона (1.3.8), состоящее в вытягивании, сжатии и складывании, которые приводят к хаотическому поведению 
.
На рис. 1.21 приведена иллюстрация способности простых отображений моделировать сложные движения. После итерации использованного отображения прямоугольная область растягивается в вертикальном направлении и сжимается в горизонтальном и склания можно получить критерий возникновения хаотических колебаний динамической системы, при которых предсказание будущей эволюции становится чувствительным к начальным условиям.
Рис. 1.21. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
Рис. 1.21. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
Рис. 1.21. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
Рис. 1.21. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
Это метод Мельникова, который успешно применяется для получения критериев хаоса в определенном классе задач о нелинейных колебаниях с одной степенью свободы (см., например, гл. 5).
