КРИТЕРИЙ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА

Этот критерий применим к динамическим системам, поведение которых точно или приближенно может быть описано разностным уравнением первого порядка, известным на новом жаргоне как одномерное отображение:

Динамика этого уравнения была исследована Мэем [130], Фейгенбаумом [37, 38] и другими авторами. Ими были открыты решения, период которых при изменении параметра X удваивается (периодом в данном случае называется целое число р, при котором совпадает с ). Одно из важных свойств уравнения (5.3.1), открытое Фейгенбаумом, состояло в том, что последовательность критических значений параметра , при которых происходит удвоение периода траектории, удовлетворяет соотношению

(5.3.2)

Это важное открытие дало в руки экспериментаторов конкретный критерий, позволяющий определять, что система находится на пороге хаотического режима, просто путем наблюдения предхаотического режима. Критерий Фейгенбаума был применен к различным физическим системам, в том числе к гидродинамическим, электрическим и лазерным экспериментам. Хотя эти задачи часто моделируются математически с помощью «континуальных» дифференциальных уравнений, отображение Пуанкаре позволяет свести их динамику к системе разностных уравнений. Более того, для многих физических задач наиболее существенную динамику удается моделировать с помощью одномерного отображения

(5.3.3)

Важность работы Фейгенбаума состояла в том, что он показал типичность удвоения периода для всех одномерных отображений с одним «горбом», или с одной горизонтальной касательной, как на рис. 3.9 [такие отображения необратимы: существуют два значения , которые, если их подставить дадут одно и то же значение Фейгенбаум также показал, что если задающая отображение функция зависит от некоторого параметра , т. е. , то последовательность критических значений этого параметра , при которых происходит удвоение периода, удовлетворяет тому же соотношению (3.3.2), что и квадратичное отображение.

Рис. 3.9. Необратимые разностные уравнения (отображения), задаваемые функцией с одним «горбом», в которых происходит удвоение периода.

Именно поэтому удвоение периода получило название универсального явления, а 6 была названа универсальной постоянной (теперь b принято называть постоянной Фейгенбаума).

Здесь автор считает своим долгом предупредить читателя о необходимости соблюдать осторожность. Термин «универсальный» используется применительно к одномерным отображениям (5.3.3). Существует много хаотических явлений, которые описываются двумерными отображениями или отображениями более высокой размерности (см., например, задачу о продольно изогнутом стержне в гл. 2). В такого рода случаях удвоение периода может быть одним из возможных путей к хаосу, но существует и много других последовательностей бифуркаций, приводящих к хаосу другими путями, минуя удвоение периода (см., например, работу Холмса [76]).

Читателю, интересующемуся очень подробным математическим изложением квадратичного отображения и удвоения периода, мы рекомендуем обратиться к монографиям Лихтенберга и Либермана [110] или Гукенхеймера и Холмса [37]. Ниже мы излагаем в кратком пересказе рафинированный вариант теории Лихтенберга и Либермана, особенно в части, касающейся критического параметра Х, при котором движение становится хаотическим, для тех читателей, кто хотел бы ощутить вкус математики удвоения периода.

Перенормировка и критерий удвоения периода. Две идеи играют важную роль в понимании явления удвоения периода: первая — понятие бифуркации решений, вторая — идея перенормировки. Наглядное представление о том, что такое бифуркация, дает рис. 3.10. Термин «бифуркация» используется для обозначения внезапного качественного изменения поведения системы при изменении некоторого параметра. Например, на рис. 3.12 стационарное периодическое решение становится неустойчивым при некотором значении параметра , и амплитуда начинает осциллировать между двумя значениями совершая полный цикл за вдвое большее время, чем до потери устойчивости. При дальнейшем изменении параметра амплитуды также теряют устойчивость, и решение претерпевает ветвление, переходя в новый цикл периода 4. В случае квадратичного отображения (3.3.1) также бифуркации решения продолжаются неограниченно при возрастании (или убывании) Однако критические значения параметра стремятся к точке накопления, т. е. при переходе через которую система допускает хаотическое непериодическое решение.

Рис. 5. 10. Бифуркационная диаграмма для квадратичного отображения (5.3.3). Удвоение периода наблюдается в зависимости «стационарный режим как функция управляюшего параметра».

Таким образом, если — некоторая безразмерная функция физических переменных (как, например, число Рейнольдса в гидромеханике), то становится удобным критерием для предсказания того, когда наиболее вероятно возникновение хаоса.

Доступное изложение метода ренормгруппы применительно к удвоению периода можно найти у Фейгенбаума [38]. В основе этого метода лежит осознание того, что существует каскад бифуркаций в что каждую бифуркацию можно отобразить в предыдущую с помощью изменения масштаба физической переменной и преобразования управляющего параметра. Чтобы продемонстрировать метод ренормгруппы в действии, наметим его приближенную схему для квадратичного отображения (см. также [110]).

Квадратичное отображение представимо в виде

где .

Циклы периода l — это просто постоянные значения переменного задаваемые неподвижными точками отображения, т. е. , или

(5.3.4)

откуда . Неподвижная точка, или точка равновесия, может быть устойчивой и неустойчивой. Иначе говоря, итерации точки могут и приближаться к , и удаляться от . Устойчивость отображения зависит от наклона кривой в точке . Критерии следующие:

(5.3.5)

Так как тангенс угла наклона к кривой зависит от , неподвижная точка становится неустойчивой при При устойчивое периодическое движение имеет период 2. Неподвижные точки, в окрестности которых возникают циклы с периодом 2, определяются уравнением

График функции показан на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Функции, задающие первую и вторую итерации квадратичного отображения (5.3.3) (см. также уравнение (5.3.6)).

Рис. 5.12. Две ветви на бифуркационной диаграмме вблизи точки удвоенна периода.

И снова решения подразделяются на устойчивые и неустойчивые. Предположим, что решение претерпевает бифуркацию и начинает совершать колебания между как показано на рис. 5.12. Тогда

(5.3.7)

Чтобы найти следующее критическое значение при котором возникает траектория с периодом 4, произведем замену переменных

(5.3.8)

Подставляя (5.3.8) в (5.3.7), получаем

(5.3.9)

Выразим через сохраняя лишь члены порядка не выше . У нас получится приближенное соотношение

(5.3.10)

где А и В зависят от и . Подвергнем переменную преобразованию подобия и введем новый параметр с помощью соотношений

Последнее соотношение имеет такой же вид, как наше исходное уравнение (5.3.2). Следовательно, когда решение претерпевает при бифуркацию и переходит в периодическое решение с периодом 4, критическое значение параметра равно , (т. е. ). Так мы приходим к соотношению

(5.3.11)

Если начать с точки , то существует последовательность бифуркаций при .

В этом случае, как показали Лихтенберг и Либерман, соотношение (5.3.11) имеет вид

(5.3.12)

Можно показать, что , поэтому . Если принять достаточно смелое предположение о том, что рекуррентное соотношение (5.3.12) выполняется и для бифуркаций высшего порядка, то

(5.3.13)

В критической точке для хаоса мы имеем

откуда

(5.3.14)

Можно также показать, что при возникает другая последовательность бифуркаций (рис. 5.10) с критическим значением

(5.3.15)

Точное значение близко . Мы видим, таким образом, что аппроксимационная схема с перенормировкой не так уж плоха.

Ренормгрупповой анализ приводит, помимо прочего, к соотношению

(5.3.16)

возникающему из закона подобия (5.3.2). Оно позволяет по двум последовательным бифуркационным значениям получать оценку критерия хаоса

Одно слово в заключение этого раздела: параметр X может превышать критическое значение (), но это еще не означает, что решения непременно должны быть хаотическими. Хаотические решения возможны, но при существуют много периодических окон, равно как и хаотических решений.

Из-за недостатка места мы не в состоянии воздать должное всему богатому разнообразию сложностей, характерных для динамики квадратичного отображения. Оно, несомненно, является одной из главных парадигм в понимании хаоса, и заинтересованный читатель сможет найти недостающие детали в упоминавшихся выше работах. (См. также приложение Б, где приведены результаты численных экспериментов.)