ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

В гл. 3 мы рассматривали динамику ротора, подталкиваемого отдельными импульсами (3.2.19). Костелих и др. [95] исследовали динамику двойного ротатора, подталкиваемого отдельными импульсами. В этой задаче с двумя степенями свободы (рис. 6.29, а) движение между периодическими импульсами линейно, и задача в промежутках между толчками может быть проинтегрирована. Используя это обстоятельство, Костелих и др. построили четырехмерное отображение и нашли области притяжения двух периодических аттракторов. При некоторых амплитудах вынуждающего импульса область начальных условий на плоскости ) имеет «весьма фрактальный» вид (рис. 6.29, б).

В других работах Янсити и др. [86] и Гуинн и Вестерфельт [58] использовали уравнение маятника с периодической вынуждающей силой для моделирования электронного устройства, основанного на одном явлении, известном под названием джозефсоновского перехода. Эти авторы также получили при различных начальных условиях границу области притяжения, выглядящую как фрактальная.

В докторской диссертации [106], защищенной в Корнеллском университете в 1987 г., Ли исследовал динамику системы с двумя степенями свободы в потенциале с четырьмя ямами под действием периодической вынуждающей силы. Эта задача аналогична задаче (3.3.7), рассмотренной нами в гл. 3, но с четырьмя потенциальными ямами вместо двух. При малых амплитудах вынуждающей силы вокруг одного из четырех положений равновесия возникает долгопериодическое движение.

Рис. 6.29. а — Схема двузвенного ротатора с импульсной вынуждающей силой; б — фрактальные области притяжения для двузвенного ротатора, находящегося под действием периодической импульсной вынуждающей силы. Двумя аттракторами служат периодическое движение (с периодом 4) и состояние равновесия [95] (Elsevier Science Publishers, © 1986).

При нулевых начальных скоростях каждое начальное положение было окрашено в одни из четырех цветов или отмечено одной из четырех различных штриховок.

Рис. 6.30. Границы с фрактальной структурой областей притяжения четырех периодических аттракторов. Данные получены путем численного моделирования плоского движения частицы в потенциале с четырьмя ямами под действием периодической внешней силы. Начальные скорости равны нулю. (Из докторской диссертации Дж. К. Ли, защищенной в Корнсллском университете в 1987 г.) Оси соответствуют начальным положениям на плоскости.

Ли показал, что граница между четырьмя областями притяжения может становиться фрактальной, когда амплитуда вынуждающей силы приближается к критическому уровню, задаваемому критерием гомоклинической траектории (рис. 6.30).