Глава XXI. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Построение системы линейно-независимых сферических функций
В § 4 гл. XX, при изучении ньютоновского потенциала, мы ввели сферические функции, определив их как множитель 
в представлении потенциала порядка 
где 
сферические координаты, и установили, что каждому значению 
соответствует не более 
линейно независимых сферических функций, через которые могут быть выражены остальные сферические функции порядка 
В этой главе покажем, что сферические функции 
естественно возникают при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах 
Подставив в уравнение (2) выражение
получим
Первое из слагаемых в левой части не зависит от 
и 
а второе от 
Поэтому уравнение может удовлетворяться при всех 
только тогда, когда каждое из слагаемых в левой части постоянно, т. е.
где 
постоянная. Отсюда получим два уравнения:
Общий интеграл уравнения (3) равен
где число 
удовлетворяет условию
При 
целом и 
получим решения уравнения Лапласа интересующего нас вида:
где 
какое-либо решение уравнения (4) при 
целом. При нашем новом подходе мы, очевидно, исчерпываем все функции 
входящие в решения уравнения Лапласа, имеющие вид (7). Следовательно, сферические функции являются
решениями уравнения
имеющими непрерывные производные до второго порядка включительно. Эти решения будем называть регулярными, а само уравнение (8) — уравнением сферических функций.
Решения уравнения (8) также будем искать по методу разделения переменных. Подстановкой
уравнение (8) приведется к системе уравнений:
где 
произвольное число.
Однозначные непрерывные на окружности решения уравнения (10) получаются при целых значениях 
Каждому такому значению 
соответствуют два линейно-независимых решения:
Займемся уравнением 
Подстановкой
приведем его к виду
В частности, при 
получим уравнение
согласно формуле (4) гл. XVI являющееся уравнением полиномов Лежандра 
Произведем в уравнении (13) подстановку
Функция у будет удовлетворять уравнению
Чтобы найти его частные решения, продифференцируем уравнение полиномов Лежандра 
раз по Применив формулу Лейбница, получим
Сравнив это уравнение с уравнением (15), видим, что функции
являются частными решениями уравнения (15). Отсюда ясно, что функции
будут частными решениями уравнения (13). Возвращаясь к переменной 6, получим искомые частные решения уравнения (11):
Так как полиномы Лежандра 
представляют полиномы степени 
от 
функции 
также представляют полиномы, причем
Функции 
получили название присоединенных полиномов Лежандра. Как всякие полиномы они непрерывны и дифференцируемы неограниченное число раз.
Таким образом, для каждого 
мы получили 
частных решений уравнения (11): 
соответствующих значениям 
Комбинируя эти решения с решениями (12) уравнения (10), получим 
сферических функций:
являющихся частными решениями уравнения (8). Эти 
сферических функций линейно-независимы, так как линейно-независимы множители 
Функции 
получили название зональных, а функции 
тессеральных сферических функций. О происхождении этих терминов см. задачу 4.
Как мы знаем, всего может быть 
линейно-независимых сферических функций порядка 
Поэтому любую сферическую функцию 
можно представить в виде линейной комбинации найденных линейно-независимых решений (19):
где 
постоянные.
