§ 2. Понятие об обобщенных решениях

Рассмотрим снова задачу Коши для уравнения

при начальных условиях

Как было показано, решением этой задачи будет функция

Эта формула дает обычное (классическое) решение уравнения (1) только в предположении, что имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а — до первого.

При решении конкретных физических задач может оказаться, что функции не удовлетворяют указанным условиям. Тогда нельзя утверждать, что существует решение задачи Коши. В этом случае вводят так называемые «обобщенные решения» задачи Коши

Будем называть обобщенным решением задачи Коши для уравнения (1) при начальных условиях (6) функцию являющуюся пределом равномерно сходящейся последовательности решений уравнения (1) при начальных условиях

если последовательность функций имеющих непрерывные вторые производные, сходится равномерно к а последовательность функций имеющих непрерывные первые производные, сходится равномерно к

Нетрудно доказать существование и единственность обобщенного решения задачи Коши для уравнения (1) при любых непрерывных функциях Это обобщенное решение также дается формулой (9).

Введение обобщенных решений уравнения (1) естественно тем, что, во-первых, для существования обычного решения задачи Коши приходится на заданные функции налагать весьма жесткие условия гладкости, в то время как для существования обобщенных решений такой гладкости от заданных функций не требуется и, во-вторых, функции в конкретных задачах физики известны нам только приближенно Поэтому соответствующая функция даваемая формулой (9), также является

только некоторым приближением к точному решению поставленной задачи.

Следовательно, совершенно безразлично, является ли это приближение обычным или обобщенным решением задачи Коши. Важно, что оно будет мало отличаться от истинного решения, если только функции равномерно мало отличаются от истинных начальных значении и

ЗАДАЧИ

(см. скан)