Глава X. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К ИЗУЧЕНИЮ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУН И СТЕРЖНЕЙ

§ 1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны

Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Мы изложим этот метод на ряде примеров, начав с простейшей задачи о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах. Эта задача, как было показано выше, сводится к решению уравнения

при граничных условиях

и начальных условиях

Будем сначала искать частные решения уравнения (1), не равные тождественно нулю, в виде произведения

удовлетворяющие граничным условиям (2). Подставив (4) в уравнение (1), получим

или

Последнее равенство, левая часть которого зависит только от а правая — только от х, возможно лишь в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от т. е. представляют собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через — k. Тогда из равенства (5) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения

Чтобы получить нетривиальные, т. е. не равные тождественно нулю, решения вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (7), удовлетворяющие граничным условиям

Таким образом, приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра при которых существуют нетривиальные решения уравнения (7), удовлетворяющие граничным условиям (8).

Те значения параметра к, при которых задача (7) — (8) имеет нетривиальные решения, называются собственными числами (или значениями), а сами эти решения — собственными функциями.

Найдем собственные значения и собственные функции задачи (7) -(8). Здесь нужно рассмотреть отдельно три случая, когда к

1. При общее решение уравнения (7) имеет вид

Удовлетворяя граничным условиям (8), получим

Так как определитель системы (9) отличен от нуля, то Следовательно,

2. При общее решение уравнения (7) имеет вид

Граничные условия (8) дают

Отсюда следовательно,

3. При общее решение уравнения (7) имеет вид

Удовлетворяя граничным условиям (8), получим

Из первого уравнения следует а из второго Мы должны считать ибо в противном случае

Поэтому т. е. — любое целое число.

Следовательно, нетривиальные решения задачи возможны лишь при значениях

Этим собственным числам соответствуют собственные функции

определяемые с точностью до постоянного множителя, который мы положили равным единице.

Заметим, что положительные и отрицательные значения равные по абсолютной величине, дают собственные функции, отличающиеся лишь постоянным множителем. Поэтому достаточно для брать только целые положительные значения. При общее решение уравнения (6) имеет вид

где произвольные постоянные. Таким образом, функции

удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых

В силу линейности и однородности уравнения (1) всякая конечная сумма решений будет также решением. То же справедливо и для ряда

если он сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по Поскольку каждое слагаемое в ряде (10) удовлетворяет граничным условиям (2), то этим условиям будет удовлетворять и сумма ряда, т. е. функция Остается определить постоянные так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (3).

Продифференцируем ряд (10) по

Полагая в (10) и в силу начальных условий (3), получим:

Формулы (12) представляют собой разложение заданных функций и в ряд Фурье по синусам в интервале (

Коэффициенты разложений (12) вычисляются по известным формулам [1]:

Таким образом, решение задачи (1) — (3) дается рядом (10), где определяются формулами (13).

Теорема. Если на отрезке дважды непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерывную третью производную и удовлетворяет условиям

непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерывную вторую производную и удовлетворяет условиям

то функция определяемая рядом (10), имеет непрерывные производные 2-го порядка и удовлетворяет уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3). При этом возможно почленное дифференцирование ряда (10) по два раза, и полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно при и любом

Доказательство. Интегрируя по частям (13) и принимая во внимание (14) и (15), получим:

где

Из теории тригонометрических рядов [34] известно, что ряды

сходятся. Подставив (16) в ряд (10), получим

Этот ряд мажорируется рядом

который сходится. Следовательно, ряд (10) сходится абсолютно и равномерно. Принимая во внимание (18), легко убеждаемся, что ряд (10) можно дважды почленно дифференцировать по Этим теорема доказана.

Если начальные функции и не удовлетворяют условиям, сформулированным в теореме, то может не существовать дважды непрерывно дифференцируемого решения смешанной задачи Однако, если непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям непрерывная функция, причем то ряд (10) равномерно сходится при и любом и определяет непрерывную функцию и

Будем называть обобщенным решением уравнения (1) при условиях (2) и (3) функцию являющуюся пределом равномерно сходящейся последовательности решений уравнения (1), удовлетворяющих граничным условиям (2) и начальным условиям, где последовательности функций, удовлетворяющих условиям сформулированной выше теоремы и таких, что

При предположениях, наложенных на функции существование обобщенного решения вытекает из того, что частные суммы ряда (10) образуют последовательность которая удовлетворяет требуемым условиям и, следовательно, ряд (10)

является обобщенным решением. Нетрудно показать, что обобщенное решение смешанной задачи единственно.

Возвратимся теперь к найденному решению (10) задачи Если ввести обозначения

то это решение можно записать в виде

Каждый член этого ряда представляет собой так называемую стоячую волну, при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с амплитудои зависящей от положения этой точки, с частотой и с одной и той же фазой

Звуки можно классифицировать на музыкальные и не музыкальные — первые называются нотами, вторые шумами. Музыкальные звуки естественным образом располагаются в определенном порядке соответственно высоте — качеству, которое до известной степени может оценивать каждый. Те ноты, которые ухо не может различать по высоте, далее называются тонами.

При колебании струна издает звук, высота которого зависит от частоты колебаний; частота основного (самого низкого) тона выражается формулой , соответствующие более высоким частотам, чем основная, называются обертонами. Обертоны, частоты которых являются кратными основной частоте, называются гармониками. Первой гармоникой будем считать основной тон, второй гармоникой — тон с частотой

Решение (20) складывается из отдельных гармоник, амплитуды их, а потому и влияние их на звук, издаваемый струной, обыкновенно быстро убывают при увеличении номера гармоники и все их действие сводится к созданию тембра звука, различного для разных музыкальных инструментов и объясняемого именно наличием этих гармоник.

Существует очень мало колебательных систем с гармоническими обертонами, но эти немногие системы являются основными для построения почти всех музыкальных инструментов. Это является следствием того, что звук с гармоническими обертонами кажется особенно приятным в музыкальном отношении. В точках

амплитуда колебаний гармоники обращается в нуль, ибо в этих точках Эти точки называются узлами гармоники. Напротив, в точках

называемых пучностями, амплитуда гармоники достигает наибольшей величины, ибо в этих точках имеет максимальное абсолютное значение.

Если мы прижмем колеблющуюся струну точно в середине, т. е. в пучности ее основного тона, то обратятся в нуль амплитуды не только этого тона, но и всех других, имеющих пучности в этой точке, т. е. нечетных гармоник. Напротив, на четные гармоники, которые имеют узел в прижатой точке, это влиять не будет. Таким образом, остаются только четные гармоники, самой низкой частотой будет и струна будет издавать не свой основной звук, а его октаву, т. е. звук с числом колебаний в секунду вдвое большим,