§ 8. Поведение потенциала простого слоя и его нормальных производных при пересечении слоя

Применив только что доказанный признак непрерывности несобственных интегралов к потенциалу

простого слоя, убедимся, что этот потенциал непрерывен во всех точках слоя, а следовательно и во всем пространстве.

Найдем производную потенциала по произвольному направлению Формально дифференцируя у под знаком интеграла, получим

где угол между направлением и отрезком При всех х, не лежащих на поверхности подынтегральное выражение непрерывно. Поэтому для указанных значений х дифференцирование под знаком интеграла законно и дает соответствующую производную потенциала простого слоя.

Поведение интеграла (37) при приближении точки х к поверхности изучим сначала в предположении, что точка х приближается к точке перемещаясь по нормали восстановленной в точке

Обозначим через

предельные значения производных от по направлению упомянутой нормали при приближении точки соответственно извне и изнутри Через

обозначим значение интеграла (37) в точке Величины и называют соответственно внешней и внутренней нормальной производной потенциала простого слоя в точке а величину прямым значением нормальной производной в этой же точке.

Докажем, что внешняя и внутренняя нормальные производные, а также прямое значение нормальной производной потенциала простого слоя существуют, однозначно определены и связаны между собой соотношениями:

Составим разность

где обозначает дифференцирование по направлению внешней нормали к в точке дифференцирование по направлению

внешней нормали в переменной точке поверхности Докажем, что разность (39) непрерывна в точке Отсюда будет вытекать, что интересующий нас интеграл испытывает те же разрывы, что и функция

Дифференцируя у по направлениям нормалей получим

где — углы между отрезком и направлениями нормалей соответственно (рис. 33). Отсюда

Рис. 33

Рассмотрим трехгранный телесный угол с вершиной в точке 5 образованный лучами и отрезком По известному свойству трехгранных углов

где угол между лучами (знак равенства достигается, когда лучи и отрезок лежат в одной плоскости). Но по свойству в) поверхностей Ляпунова

где Сопоставив это неравенство с соотношениями (41) и (42), заключим, что можно найти такое постоянное число чтобы было

Покажем, что отношение при остается ограниченным при всех Введем местную систему координат с началом в точке направив ось 3 вдоль нормали Так как точка х лежит на оси 3, то

Заметив, что получим

Но согласно формуле где Поэтому

Правая часть этого неравенства при достаточно малом сколь угодно близка к из чего и вытекает требуемое утверждение. В силу неравенства (43) теперь заключим, что существует такое ограниченное положительное число В, что

а отсюда, на основании признака непрерывности несобственных интегралов (§ 7), следует, что первый из интегралов в правой части соотношения (39) непрерывен в точке

Перейдем ко второму интегралу в правой части этого соотношения. Начало координат опять поместим в точке Пусть участок поверхности лежащий внутри шара достаточно малого радиуса. Легко найдем, что

где угол между нормалью в точке и отрезком а наибольшее значение на Когда то

где направляющие косинусы нормали Приняв во внимание неравенства (32) и (34), найдем, что а поэтому

Отсюда, на основании признака сходимости, доказанного в § 7, следует, что интеграл ограничен, когда Когда же этот интеграл ограничен, так как ограничено подынтегральное выражение. Следовательно, путем выбора радиуса а шара величину можно сделать настолько малой,

чтобы правая часть неравенства (44) была меньше произвольно малого числа при любом положении точки х внутри шара Отсюда заключим, что существуют такие окрестности точки принадлежащая поверхности принадлежащая шару что

При этом функция непрерывна на Отсюда следует, что второй из интегралов в правой части (39) сходится равномерно, а поэтому и непрерывен в точке

Таким образом, разность (39) является непрерывной функцией точки вследствие чего интегралы

при пересечении точкой х поверхности изменяют свое значение на одну и ту же величину.

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся основной формулой теории гармонических функций (44) гл. XIX. Положив в ней получим формулу Гаусса

из которой непосредственно вытекают формулы (38).

ЗАДАЧА

(см. скан)

Доказать, что прямое значение производной потенциала простого слоя на 5 является функцией, непрерывной на