§ 4. Излучение из отверстия в плоском экране

Покажем на простом примере, как можно приближенно рассчитать звуковое поле, заменяя излучатель системой распределенных точечных источников.

Предположим, что в безграничной плоской стене имеется круглое отверстие, через которое падающая на заднюю сторону стены плоская звуковая волна проникает в пространство, лежащее по другую сторону стены. Оставляя в стороне вопрос об интенсивности излучаемого из отверстия звукового поля, поставим задачу найти, как оно распределяется в пространстве перед стеной на достаточном удалении от нее.

Каждый элемент площади отверстия будем считать точечным источником звука с производительностью где постоянная величина (равномерное распределение интенсивности излучения по отверстию). Введем сферические координаты с началом в центре отверстия и полярной осью, перпендикулярной его плоскости. В силу формулы (25), давление, создаваемое источником в точке равно

где — расстояние от точки принадлежащей до точки наблюдения Пользуясь известной формулой аналитической геометрии найдем, что

Считая, что мы рассматриваем поле на большом удалении от стены пренебрежем членами, содержащими Это после простых преобразований даст

откуда

Не делая существенной ошибки в знаменателе выражения (28), можно принять в показателе же степени, как будет ясно из дальнейшего, следует сохранить более точное выражение (29). Это даст

Заметив, что для определения давления от всей совокупности точечных источников на получим выражение

где — радиус отверстия. Согласно (58) гл. XIII внутренний интеграл

Поэтому

Подставив это выражение в (7), найдем, что интенсивность звукового поля на большом удалении от отверстия

где вместо круговой частоты подставлена длина волны X излучаемого звука.

Функция близка к 1 при затем ее изменение носит осциллирующий характер с быстро спадающей амплитудой. Поэтому, если т. е., примерно, то излучение от отверстия, в пространстве за стеной практически будет распространяться равномерно (случай длинных волн). По мере уменьшения длины волны излучение будет приобретать все более остро направленный характер, причем при изменении от до возможно появление нескольких максимумов и минимумов интенсивности (боковые лепестки).