§ 5. Функция Грина задачи Дирихле для шара
Найдем с помощью сферических функций функцию Грина задачи Дирихле
в частном случае, когда область V представляет шар или бесконечную область, расположенную вне некоторого шара.
Как мы знаем (§ 7, гл. XIX), функция Грина задачи Дирихле равна
где 
расстояние между точками 
решение граничной задачи (60) гл. XIX:
Рис. 40
Начнем с внутренней задачи, предположив, что область V — шар радиуса а. Обозначим через 
расстояния точек 
от центра шара, а через у — угол между радиусами-векторами точек х и I (рис. 40) и разложим функцию 
в ряд по полиномам Лежандра:
Для определения величин 
воспользуемся представлением функции
в форме ряда по степеням отношений 
Согласно формуле (15) гл. XVI коэффициентами этого ряда будут величины
Поэтому, для случая, когда точка 
лежит на поверхности 
получим
Сравнив разложения для 
заключим, что граничное условие (41) тождественно удовлетворяется, если положить:
Следовательно,
Сравнив этот ряд с рядом (15) гл. XVI, найдем, что
Подставив это выражение в формулу (39), получим искомую функцию Грина:
где
Легко видеть, что величина 
представляет расстояние от точки I до точки х, гармонически сопряженной (гл. XIX, § 3) с точкой х относительно поверхности 
рассматриваемого шара. Действительно, по определению гармонически сопряженных точек, точка х лежит на том же луче, исходящем из центра шара, что и точка х, на расстоянии
от центра (рис. 40). Составляя выражение для расстояния 
как раз и получим формулу (43).
Для внешней задачи Дирихле вид выражения (42), определяющего функцию Грина, не меняется. Чтобы доказать это утверждение, достаточно показать, что по координатам точки I функция
гармонична в бесконечной области вне шара и удовлетворяет граничному условию (4). Первое ясно, так как 
есть расстояние от точки лежащей вне шара V или на его поверхности, до точки х, гармонически сопряженной с точкой 
значит, лежащей внутри шара. Поэтому полюс функции лежит внутри шара, в силу чего в области вне шара она гармонична. Второе вытекает из формулы (43). Действительно, если точка I находится на поверхности шара, то 
и
Таким образом, формула (42) дает выражение функции Грина, разрешающей как внешнюю, так и внутреннюю задачи Дирихле для шара. При этом, в отличие от формул (32) и (33), с помощью функции Грина решение представляется в замкнутой форме и охватывает задачи Дирихле не только для уравнения Лапласа, но и Пуассона (см. § 7 гл. XIX).
ЗАДАЧА
(см. скан)
