§ 5. Распространение тепла в однородном шаре

Исследуем задачу о распространении тепла в однородном шаре радиуса центр которого находится в начале координат.

1. Рассмотрим сначала тот случай, когда начальная температура шара равна а температура его поверхности равна В этом случае задача приводится к интегрированию

уравнения теплопроводности

при граничном условии

и при начальном условии

Полагая имеем:

Задача (97)-(99) приводится, таким образом, к задаче распространения тепла в стержне, концы которого поддерживаются при температурах и соответственно. Решение этой задачи приведено в § 1 [см. (18), (23) и (24)]. Используя его, окончательно получим:

Частные случаи: а) Начальная температура равна нулю. Температура поверхности шара постоянна и равна

б) Начальная температура равна нулю. Температура поверхности шара равна

2. На поверхности шара происходит теплообмен с окружающей средой, температуру которой будем считать равной нулю. Эта задача приводится к решению уравнения (97) при начальном условии (99) и при граничном условии

Как и в п. 1, сделаем подстановку Тогда будем иметь

Таким образом, задача (97), (99) и (104) приводится к задаче распространения тепла в стержне, один конец которого поддерживается при нулевой температуре, а на другом конце происходит теплообмен с окружающей средой.

Применяя метод Фурье, мы найдем частные решения уравнения (105)

удовлетворяющие граничным условиям (106) при любом С, если К является корнем уравнения

Рис. 49

Положим

тогда уравнение (109) примет вид

Это уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней, в чем нетрудно убедиться, построив графики кривых (рис. 49)

Из чертежа видно, что когда — то в каждом из интервалов лежит положительный корень уравнения (111), причем при возрастании значения корней приближаются к . Когда положительные корни лежат в интервалах и при возрастании приближаются к Отметим, что отрицательные корни уравнения (111) по абсолютной величине равны положительным.

Обозначим через положительные корни уравнения (111). Тогда, согласно (110), собственные значения будут

Каждому собственному значению соответствует собственная функция

Составим теперь ряд

Удовлетворяя начальному условию (107), получим

Умножая обе части разложения (115) на и интегрируя в пределах от до найдем, в силу равенств при

коэффициенты по следующей формуле:

Внося это выражение коэффициентов в ряд (114) и принимая во внимание, что получим решение задачи (97), (99) и (104) в виде ряда

3. Обратимся теперь к исследованию общего случая, когда температура шара зависит от всех трех координат при этом мы будем предполагать, что температура поверхности шара равна нулю.

Если преобразовать уравнение теплопроводности к сферическим координатам то задача о распространении тепла в шаре приводится к интегрированию уравнения

при условиях

Ищем частные решения уравнения (117) в виде

Подставляя это в (117), получаем

откуда имеем два уравнения:

где

Чтобы получить нетривиальные решения уравнения (117) вида (120), удовлетворяющие граничному условию (118), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (122), удовлетворяющие граничному условию

Решение уравнения (122), удовлетворяющее граничному условию (123), будем искать в виде

Подставляя в уравнение (122) и разделяя переменные, получим

Решая уравнение (125) при условии ограниченности на всей поверхности сферы, получаем собственные значения

которым соответствуют сферические функции (см. гл. XXI, § 1)

Рассмотрим теперь уравнение (126). Учитывая равенство (127), граничное условие (123), а также ограниченность решения при получим для функции следующую граничную задачу:

С помощью подстановки

уравнение (129) приводится к уравнению Бесселя

общее решение которого имеет вид (гл. XIII, § 1)

Из условия ограниченности решения следует, что Граничное условие (130) дает

Так как мы ищем нетривиальные решения уравнения (129), то следовательно,

Обозначив через положительные корни трансцендентного уравнения

находим собственные значения

Каждому собственному значению граничной задачи (122) — (123) соответствует собственных функций

где положено

При общее решение уравнения (121) имеет вид

где произвольная постоянная.

Таким образом, в силу (120), (135) и (136), все функции вида

где

— сферическая функция порядка удовлетворяют уравнению (117) и граничному условию (118) при любых постоянных

Составим теперь ряд

Требуя выполнения начального условия (119), получим

Чтобы найти сферические функции в разложении (140), умножим обе части этого разложения на и проинтегрируем по поверхности сферы единичного радиуса. Тогда получим

Принимая во внимание формулы (23) гл. XXI

мы можем выражение (141) переписать в виде

или

Сравним это разложение с разложением произвольной функции в ряд по функциям Бесселя (см. гл. XIII, § 4):

где

а положительные корни уравнения (133).

Из сравнений рядов (142) и (143) находим искомое выражение для сферических функций а именно:

Таким образом, решением задачи (117)-(119) будет ряд (139), в котором сферические функции определяются по формуле (144).