Глава XVII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ

§ 1. Свободные колебания прямоугольной мембраны

Рассмотрим малые колебания однородной прямоугольной мембраны со сторонами закрепленной по контуру.

В гл. I было показано, что эта задача сводится к решению волнового уравнения

при граничных условиях:

и начальных условиях:

Будем искать частные решения уравнения (1) в виде

удовлетворяющие граничным условиям (2). Подставив (4) в уравнение (1), получим

Очевидно, что это равенство может иметь место только в том случае, когда обе его части равны одной и той же постоянной величине. Обозначим эту постоянную через принимая во внимание граничные условия (2), найдем что

и

Граничную задачу (6), (7) будем решать методом Фурье, полагая

Подставляя (8) в уравнение (6), получим

откуда получаем два уравнения:

где

Общие решения уравнений (9), как известно, имеют следующий вид:

Из граничных условий (7) получим

откуда ясно, что и если мы положим то окажется:

причем должно быть

Из уравнений (14) вытекает, что имеют бесчисленное множество значений:

Тогда из равенства (10) получим соответствующие значения постоянной

Таким образом, собственным числам (15) соответствуют собственные функции

граничной задачи (6), (7).

Обращаясь теперь к уравнению (5), видим, что для каждого собственного числа его общее решение имеет вид

Таким образом, в силу (4), (16) и (17), частные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2) имеют вид:

Чтобы удовлетворить начальным условиям (3), составим ряд

Если этот ряд равномерно сходится, так же как и ряды, полученные из него двукратным почленным дифференцированием по то сумма его, очевидно, будет удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям (2). Для выполнения начальных условий (3) необходимо, чтобы

Предполагая, что ряды (20) и (21) сходятся равномерно, мы можем определить коэффициенты умножив обе части равенств (20) и (21) на

и проинтегрировав по а: в интервале от до и по у от до Тогда, приняв во внимание, что

получим

Решение (19) можно записать также в виде

где

Рассматривая равенство (23), видим, что отдельные его члены выражают собой гармоническое колебательное движение, и, следовательно, общее колебание мембраны слагается из бесчисленного множества собственных гармонических колебаний типа стоячих волн.

Частота каждого собственного колебания определяется по формуле

а период колебаний по формуле

Мембрана отличается от струны тем, что для последней каждой частоте собственных колебаний соответствует своя форма струны, которая просто разделяется узлами на несколько равных частей. Для мембраны же может оказаться, что одной и той же частоте соответствует несколько фигур мембраны с различными положениями узловых линий, вдоль которых амплитуды собственных гармонических колебаний равны нулю. Проще всего это исследовать на примере квадратной мембраны

В этом случае частота будет вычисляться по формуле

Из этой формулы видно, что основной тон, определяемый выражением

имеет частоту причем очевидно, что для этой частоты узловые линии совпадают со сторонами квадрата, образуемого мембраной.

В тех случаях, когда

имеем два обертона:

с одной и той же частотой

Ясно, что для этой частоты узловые линии определяются из уравнения

или

Простейшие из них изображены на рис. 25 пунктирными линиями. Более сложные узловые линии при той же частоте получим, когда но мы их приводить не будем.

Аналогичным способом изучают узловые линии и следующих обертонов.

Вынужденные колебания прямоугольной мембраны исследуются совершенно так же, как и вынужденные колебания струны, с той лишь разницей, что внешняя сила разлагается не в простой, а в двойной ряд Фурье.

Рис. 25