§ 5. Неоднородное волновое уравнение

Рассмотрим неоднородное волновое уравнение

и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям

Для решения этой задачи рассмотрим решение однородного уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

причем за начальный момент времени взято не а где некоторый параметр. Решение задачи будет выражаться формулой Пуассона, но только в этой формуле нужно заменить на поскольку начальным моментом времени является не

Итак, будем иметь

Покажем, что функция определенная формулой

является решением неоднородного волнового уравнения (16) при нулевых начальных условиях (21). Действительно, из формулы (25) находим

Дифференцируя выражение (25) по получим

Здесь внеинтегральный член равен нулю в силу первого из условий (23). Дифференцируя еще раз по будем иметь

причем внеинтегральный член равен в силу второго из условий (23), т. е.

Из формул (26), (28) и уравнения (22) легко видеть, что функция удовлетворяет неоднородному уравнению (66). Начальные условия (21) также выполнены, что следует из формул (25) и (27).

Подставив в формулу (25) вместо функции ее выражение (24), получим:

Введем вместо новую переменную интегрирования Тогда будем иметь

Введя вместо сферических прямоугольные координаты

и учитывая, что получим

и выражение для окончательно запишется в виде

где шар радиуса с центром в точке

Выражение (29) называют запаздывающий потенциалом, так как при выполнении интегрирования функция берется не в рассматриваемый момент времени а в момент времени предшествующий на промежуток времени, который требуется, чтобы процесс, распространяющийся со скоростью а, прошел путь от точки до точки (х, у, 2).

Совершенно так же, как и выше, мы можем получить решение неоднородного уравнения

с нулевыми начальными условиями

Это решение получается в виде:

где

В случае уравнения

решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям, будет, очевидно, следующим: